يعد البحث عن المتتاليات والمتتاليات الهندسية وتفسير وفهم المتتاليات والمتتاليات الحسابية والهندسية من أهم الموضوعات في الرياضيات للوصول إلى استنتاجات تخدم العلوم الأخرى وترتبط بها، وهو أنه من السهل حلها من خلال إيجادها. تسلسل هندسي وسلسلة.
إيجاد المتتاليات والمتسلسلات الهندسية
1- تحديد تسلسل
- إنها مجموعة من الأرقام، لأن كل رقم فيها له نمط متعلق بما يأتي قبله وبعده.
- تتبع التسلسلات نمطًا معينًا بالإضافة إلى ترتيب خاص بحيث يحكمها كل رقم.
- كل من هذه الأرقام يسمى حد.
- يُطلق على المصطلح سلسلة رقم مجموعة المصطلح، حيث توجد العديد من الفئات المتعلقة بالمصطلح وهناك بين A3 و A2 و A3، لذلك هناك متواليات ذات حدود أو بدونها.
1- مثال على التسلسل
- إذا اعتبرنا أن هناك سلسلة من الصناديق، وفي كل صندوق يوجد العديد من الكرات، فإن ترتيب الصندوق هو رقم الحد وليس المربع نفسه، وعدد الكرات داخل الصندوق هو قيمة الحد.
- أو إذا اعتبرنا أن هناك قطارًا به عشرين سيارة، ولكل سيارة عدد من الركاب، وتكون السيارات هي الأرقام المحددة، وعدد الركاب هو القيمة الحدية على سبيل المثال، إذا كان هناك 12 راكبًا في رقم السيارة 15، إذن الرقم 15 هو رقم الحد، والرقم 12 هو حد القيمة.
- وإذا اعتقدنا أن هناك مجموعة من الكرات بداخل كل منها حلوى داخل صندوق ووضعت بترتيب معين، فإن كل كرة تسمى الحد، والحلوى بداخلها هذه هي القيمة النهائية.
أدعوك أيضًا للتعرف على: دراسة المتواليات والمسلسلات الهندسية وأشكالها
2- تحديد المتتالية الحسابية
- نظرًا لإجراء بحث عن تسلسل وسلسلة هندسية، يُعرف التسلسل المحدود واللانهائي باسم التسلسل الحسابي.
- هذا عندما يزداد التسلسل بعدد معين، وبالتالي تكون النتيجة رقمًا معينًا عندما يتم طرح أي مصطلح متتالي من المصطلح الذي يسبق هذا هو التسلسل الحسابي.
- يكون التسلسل حسابيًا إذا كان الاختلاف لكل قيم n من التسلسل، و r هو رمز للاختلاف الثابت، أو الأساس الثابت للتسلسل.
- قاعدة إيجاد حد المتتالية الحسابية هي (أن الحد n أو الحد الأول هو عدد الحدود ناقص 1، و r هو الفرق الثابت).
- لتحديد ما إذا كان التسلسل حسابيًا أم لا، يجب حساب الفرق بين المصطلحات باستخدام الصيغة (a2-a1) (a3-a2) (a4-a3).
- إذا كان (a2-a1) = (a3-a2) = (a4-a3) فإن التسلسل يكون حسابيًا.
- ولكن إذا كان (a2-a1) ≠ (a3-a2) ≠ (a4-a3) فإن التسلسل ليس حسابيًا.
- تتم كتابة التسلسلات المحدودة بالصيغة d {1،3،2،000، m} → h، والتي تنتهي بـ N، بينما تتم كتابة التسلسلات اللانهائية بالصيغة d: i → h، وهي دالة k في مجال الطبيعي أرقام i، والتي تقع في المجال المقابل للأرقام الحقيقية h.
- تعتبر {h} تسلسلًا حسابيًا إذا كان هناك رقم ثابت d حيث d = hn + 1-h، لجميع قيم n، وتسمى d أساس المتسلسلة.
3- مثال على متتالية حسابية
- إذا كان مجموع ثلاث فترات متتالية من المتتالية الحسابية هو
- ومنتجهم هو -42.
- ما هي القيود الثلاثة؟
- إذن الإجابة هي {-3، 2، 7}.
ولا تنس قراءة مقالنا عن: بحث كامل عن المتتاليات والمتسلسلات الحسابية والهندسية
4- ملاحظات على المتتالية الحسابية
- الحد التاسع من المتتالية الحسابية هو: h = a + (n – 1) d، و a هو الحد الأول، و d هو أساس المتسلسلة.
- المتوسط الحسابي بين عددين A و B هو حدود المتسلسلة، لذا فإن حدها الأول هو A والحد الأخير هو B.
- مثال على الملاحظات: هل المتتالية {h} = {15،11،7،3، 00000} حسابية أم لا ؟، وإجابته هي أنها متتالية حسابية لأن h + 1 – hn = 4 لجميع القيم.
2- المتتاليات الهندسية
- قد يكون أو لا يكون محدودًا، وسوف نناقشه بالتفصيل في هذه الورقة حول المتتاليات والسلسلة الهندسية.
- يعتبر التسلسل هندسيًا إذا كان به رقم معين، بحيث يكون قسمة أي مصطلح لاحق على المصطلح الذي يسبقه، مساويًا لهذه القيمة الثابتة، لجميع قيم n، حيث يسمى r ثابت الفرق وهو أساس التسلسل.
- السلسلة هي مجموع المصطلحات المتتالية، والمتوسط الحسابي هو المصطلح بين هذين المصطلحين.
- لإيجاد قيمة أي حد في تسلسل هندسي، نستخدم القانون: الحد ناقص 1، الفرق الثابت.
- لتحديد ما إذا كان التسلسل هندسيًا أم حسابيًا أم غير هندسي، نعود إلى النسبة ()، وكذلك النسبة ()، ومرة أخرى ().
- مثال: إذا () = () = ()، فإن التسلسل هندسي.
- لكن إذا () ≠ () ≠ ()، فإن التسلسل ليس هندسيًا.
1- مثال يوضح هل التسلسل هندسي أم لا
- نحن نبحث عما إذا كان التسلسل {3، 6، 12، 0000} هندسيًا أم لا؟
- الحل
- يعتبر التسلسل صحيحًا وهندسيًا لأن قيمة النسبة الثابتة () = () = (2).
- مثال آخر
- أوجد الحد العاشر من التسلسل التالي {، -1، 2، 0000}.
- الحل
- يعتبر هذا التسلسل هندسيًا، والحد الأول =.
- النسبة الثابتة وفقًا لذلك هي = (- 1 ÷ = – 2).
- فتكون (ح 10) = × – 92 = × (- 512) = 256.
اقرأ هنا عن: البحث في خصائص الأعداد الحقيقية بالتفصيل
2- ملاحظات على التسلسلات الهندسية
- الحد التاسع من المتتالية الهندسية هو hn = a rn – 1، لذا فإن a هو الحد الأول و r هو أساس المتتابعة.
- والمتوسط الهندسي بين العددين a و b هو حدود المتتابعة لأن حدها الأول هو a والأخير b.
- إذا كانت الأرقام a و b و c عناصر تسلسل هندسي، فإن b هو المتوسط الهندسي، بحيث a / b = b / c → b = زائد أو ناقص الجذر التربيعي للفأس c.
3- تمارين في التسلسل الهندسي
- أوجد عدد الحدود بين 13 و 100 حيث كل الحدود قابلة للقسمة على 6؟ (ن = 14 حدًا، المصطلح النهائي = 96).
- الحل
- يعتبر التسلسل هندسيًا، حيث نستخدم r = hn + 1 ÷ ÷ لجميع قيم n، ويسمى r أساس التسلسل.
- مثال
- هل التسلسل التالي يعتبر هندسي أم لا 3، 6، 12، 00000؟
- الحل
- يعتبر التسلسل هندسيًا لأن H + 1 ÷ H = 2 لجميع قيم n.
استخدم التسلسلات
- نظرًا لأنه يحتوي على نمط معين، يتم استخدامه في العديد من العمليات المستخدمة في البناء، والبناء الرياضي والعديد من التطبيقات الرياضية تعتمد عليه.
- غالبًا ما يستخدم في حالة الحاجة إلى جدولة ديون الشخص المتبقية، وكذلك حساب الأقساط، ويستخدم أيضًا في العمليات المصرفية.
لذلك فإن المتتاليات الحسابية والهندسية لها أهمية كبيرة في العديد من المجالات، وهناك أنواع مختلفة منها، مثل إيجاد المتواليات والتسلسلات الهندسية، والأمثلة المختلفة التي قدمت والحلول التي تهدف إلى البحث، لتدريب القارئ بشكل واضح. توصيل معلومات البحث.