تعتبر نظرية الاحتمالية ذات الحدين من النظريات المهمة، حيث يُعرف توزيع الاحتمال ذي الحدين بالتوزيع الحدي، وهو توزيع لتجربة عشوائية بنتائج اثنين فقط، إحداهما نجاح التجربة الاحتمالية والأخرى هي فشل التجربة مع العلم أن احتمالية النجاح لا تتأثر بتكرار التجربة.
خصائص التوزيع الثنائي
- حيث تتكون التجربة من أكثر من اختبار واحد، ولكن إذا كانت تتكون من اختبار واحد، فهي في تجربة توزيع برنولي.
- التجارب مستقلة عن بعضها البعض، مما يعني أن احتمال النجاح هو دائمًا p واحتمال الفشل هو q.
- هذا توزيع منفصل حيث يتعلق الأمر بتكرار التجارب n مرة.
- متوسطها = np، وتباينها = npq، وانحرافها المعياري = الجذر التربيعي للتباين.
- يجب أن تكون جميع الاختبارات متساوية ومستقلة.
- احتمال النجاح ثابت لكل محاولة.
اقرأ من هنا عن: علاقة الرياضيات بالعلوم الأخرى؟
نظرية ذات الحدين في الاحتمال
- يتم إعطاء كل اختبار نتيجة واحدة فقط، إما نجاح أو فشل بحيث تكون النتيجة متسقة.
- احتمال النجاح (p) + احتمال الفشل (q) = 1، q = 1-p.
- تعد التجارب n مستقلة عن بعضها البعض، لذا فإن X هو عدد التجارب الناجحة من n من المرات.
- حيث X هو متغير ذو الحدين وتوزيعه الاحتمالي هو التوزيع ذي الحدين.
قانون ذو الحدين
- لنفترض أن P (x) = P (X = x) حيث x هو عدد التجارب الناجحة.
- عدد المحاولات الفاشلة (nx).
- احتمال الحدث هو أن الأحداث مستقلة لأن الاحتمال يشبه ناتج احتمالات النجاحات على النحو التالي: P (ab) = P (a) × P (b).
- عدد الطرق لتحديد نجاحات x من تجارب n هو أي مجموعة من n تؤخذ x مرة.
- يسمى التوزيع الاحتمالي X ذي الحدين إذا كانت دالة الاحتمال الخاصة به على شكل
- = P (x)
- إذا تم إلقاء النرد 180 مرة، يكون متوسط عدد مرات الحصول على 6 هو 180 × (= 30)، ويكون التباين 180 × () × () = 25، والانحراف المعياري هو
مثال 1
- في اختبار يتكون من 10 أسئلة وكل سؤال يتكون من 4 إجابات بحيث يكون سؤال واحد فقط هو الصحيح والثلاثة الأخرى غير صحيحة.
- إذا قررنا اختيار الإجابة الصحيحة بشكل عشوائي من الإجابات الأربعة لأننا لا نعرف الإجابة الصحيحة.
- تمثل كل استجابة تجربة ناجحة (25)، أو خطأ (0.75).
- عدد المحاولات n هو 10، وبما أن التجارب مستقلة، فإنها تحقق التوزيع ذي الحدين.
مثال 2
- كيس يحتوي على 3 كرات خضراء، 6 كرات حمراء مسحوبة و 5 كرات مسحوبة، ما هو احتمال وجود 3 كرات حمراء من الكرات المسحوبة؟
- كن الحل
- n = 5، t = 3، a = = حيث يمثل n عدد المرات التي يتم فيها تنفيذ التجربة، يمثل a احتمال النجاح في التجربة.
- ثم l (x = 3) = [ ] ×))
مثال 3
- كيس يحتوي على 3 كرات حمراء و 7 كرات بيضاء، لذا إذا قمت برسم 5 كرات متتالية مع مرتجعات، ما هو احتمال حصولك على 4 كرات بيضاء.
- الحل
- ن = 5، ر = 4
- ل (ب) = 0.7، ل (ح) = 0.3
- ل (4) = [ ] ) ()
مثال 4
- يقوم الصياد بإطلاق 10 طلقات على هدف ويكون احتمال إصابة الهدف في كل مرة (0.9)، أوجد احتمال إصابة الهدف مرة واحدة على الأقل.
- الحل
- ن = 10، س = 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 1 درجة.
- أ = 0.9
- ل (مرة واحدة على الأقل) = 1 – لتر (0) = 1 – () () () = 1- ()
ولا تنس قراءة مقالنا عن: الفرق بين النظرية والفرضية والحقيقة
توزيع بواسون بعد عالم الرياضيات الفرنسي سيمون دي بواسون
يعد هذا أحد أهم التوزيعات غير المستمرة في العديد من التطبيقات الإحصائية ويسمى توزيع الأحداث العشوائية، ومثال على ذلك عدد الوحدات المعيبة في حجم إنتاج لمصنع معين وعدد المكالمات الهاتفية التي يتلقاها الهاتف. الصرف في فترة زمنية معينة.
نموذج الانحدار السالب ذي الحدين
- حيث تأتي من نظرية ذات الحدين للاحتمال.
- وهو أحد النماذج العددية المستخدمة لتمثيل بعض الظواهر والمواقف الطبية والهندسية والمالية والجيوفيزيائية والطبيعية، مثل المطر والأعاصير والزلازل، لأنه لا يمكن التعبير عنها بالنماذج العادية التي تعتمد في التوزيع.
- يجب أن تجمع هذه الأحداث بين توزيعين (مثل Poisson و Kama) للحصول على توزيع أكثر مرونة في حالة الأحداث المعقدة والمجتمعات غير المتجانسة.
- كما أنها تعتبر ذات الحدين السالب كأحد عوامل نظرية الاحتمالية ذات الحدين، وهي مهمة جدًا لدراسات الحياة، والدراسات البيولوجية والبيئية، والعلوم الزراعية، والهندسة، وكذلك العلوم البكتيرية، لأنها أساس نموذج إحصائي للبيانات العددية.
- نظرًا لأن المتوسط الحسابي والتباين في توزيع بواسون متساويان، فعند زيادة متوسط القيمة، تزداد قيمة التباين أيضًا، وتسمى هذه الخاصية التشتت المحايد في حالة البيانات مع توزيع بواسون.
- في حال كان الاختلاف أكبر من متوسط البيانات، والذي له خاصية التشتت المفرط، فإننا نلجأ إلى استخدام النموذج ذي الحدين السالب، المعروف بنموذج Poisson-Kama المختلط، لأنه الأنسب في حالة خاصية التشتت المفرط.
- على الرغم من أن النموذج ذي الحدين السالب هو مثال على نظرية الاحتمالية ذات الحدين المستمدة من نموذج المعقد التقليدي (Poisson-Kama).
- ومع ذلك، يمكن أن يكون النموذج ذي الحدين السالب جزءًا من عائلة التوزيع الأسي ذات المعلمة الواحدة الخاصة بالنماذج الخطية العامة.
- يتم تحقيق قيمة سالبة ذات الحدين عندما يكون التباين أكبر من متوسط البيانات.
- لها أربع طرق مختلفة: طريقة المساحات الأكبر، طريقة المربعات الصغرى المتكررة، وطريقة المساحات الموزونة، وكذلك طريقة الوزن- أسلوبنا في الإطارات الأصغر.
- تتنوع معلمات الطرق ذات الحدين السالب للتركيز على أفضل طريقة.
- عند أخذ عينة عشوائية بسيطة مؤلفة من 257 حالة لمواليد مصابين بتشوهات خلقية، تم تسجيلهم في دائرة صحة بابل.
- تستخدم البرامج الإحصائية لتحديد معاملات النموذج ذي الحدين السالب لتحديد أفضل طريقة.
- بينت النتائج أن طريقة إعادة ترجيح المربعات الصغرى التكرارية هي أفضل طريقة، لأنها تحتوي على أدنى متوسط لخطأ المربعات MSE وأعلى معامل تحديد.
- في عام 1974 أجرى العالم (بولمر) دراسة لمجموعتين من البيانات الحقيقية، حيث تضمنت المجموعة الأولى عدد الحيوانات ذات الأجنحة المتقشرة التي تم اصطيادها باستخدام مصيدة ضوئية، وتضمنت المجموعات الأخرى عدد الفراشات في نوع ميلان كان جمعت.
- عند مقارنة بيانات المجموعتين من حيث ملاءمتها للتوزيعات (ذات الحدين السالب، توزيع بواسون، توزيع بواسون اللوغاريتمي العادي المختلط)، يظهر أن البيانات تتناسب مع التوزيع ذي الحدين السالب أكثر من التوزيعات الأخرى، والمعلمات يتم تقدير التوزيع بأقصى طريقة ممكنة.
- أيضًا، في عام 1987، استخدم العالم (Nelder) نموذجًا سالب ذي الحدين لتحليل مصائد الحشرات في عمل تصميم القطاعات المتداخلة، ودرس الخصائص الإحصائية لوظيفة شبه الاحتمالات الموسعة بناءً على هذا التصميم.
- كما استخدمت (Hilbe) في عام 2005 التحليل السلبي المتسلسل ذي الحدين والذي يستخدم لآلية إدارة الآفات الحشرية وتقليل مخاطرها.
اقرأ من هنا: تعبير الموضوع عن نظرية فيثاغورس
لذلك، فإن تسمية ذات الحدين ترجع إلى حدوث حالتين حيث يكون أحدهما جيدًا أو سيئًا، متساويًا أو لا، معيبًا أم لا، وتعتبر دالة التوزيع ذات الحدين المصطلح العام للتوسع ذي الحدين، لذلك يتم استخدامها يحل العديد من المسائل ذات الأهمية الكبرى ليس فقط في الرياضيات.