ما هي الاعداد النسبية في الرياضيات؟

ما هي الأعداد النسبية في الرياضيات؟ عندما ولدت الأعداد والأعداء ولد معها علم الرياضيات. يريد العلماء البحث عنه، لمساعدتهم في الهندسة وعلم الفلك والعلوم الأخرى. كان أحد الأرقام الأولى التي اكتشفها العلماء هو الأعداد النسبية، فما هي الأعداد النسبية في الرياضيات.

الاستعدادات

الأرقام والأرقام هي لغة الرياضيات، لأنها تستخدم للتعبير عن الكمية، وهي أساس الرياضيات التي تتم فيها العمليات الحسابية كل يوم، مثل حساب الأيام أو الأشهر أو السنوات.
هناك اختلافات في شكل ونطق وكتابة الأرقام في كل ثقافة ولغة، كما تختلف كل لغة عن اللغات الأخرى حسب الثقافة، لذلك هناك أرقام عربية وأرقام هندية.
تجدر الإشارة إلى الفرق بين الأرقام والأرقام، وهو أن الأرقام هي رموز رياضية، لكن الأرقام هي اسم أو صفة تصف عدد الأشياء أو ترتيبها.
وقد ساهم دور العلماء في اكتشاف الأعداد وتنميتها بشكل كبير، وخاصة العالم المسلم الخوارزمي الذي اكتشف الصفر الذي يمكن للإنسان أن يعد منه إلى ما لا نهاية.
يقسم العلماء الأرقام إلى مجموعات وفقًا لخصائصها، بما في ذلك مجموعة الأعداد المنطقية، ومجموعة الأعداد غير المنطقية، ومجموعة الأعداد الصحيحة، والأرقام الطبيعية والحقيقية.

ما هي الأعداد المنطقية في الرياضيات؟

يمكننا تعريف الأعداد المنطقية كأرقام يمكننا كتابتها كرقم أ / ب، أي يمكن كتابتها كبسط ومقام، طالما أن المقام لا يساوي صفرًا لأنه إذا كان يساوي صفرًا، فإن الكسر القيمة غير محددة.
كلمة النسبية مشتق من النسبة، مما يعني المقارنة بين رقمين في البسط والمقام، بحيث يتم قسمة العدد الصحيح على العدد الصحيح.
وبالتالي، يسهل علينا التمييز بين مجموعة الأعداد الصحيحة من مجموعات مختلفة من الأرقام، حتى لو كانت هناك إمكانية للاختلاط بين مجموعات مختلفة من الأرقام.
مثل الرقم +7، فهو رقم ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية، لأنه عدد صحيح وموجب، ولكنه ينتمي أيضًا إلى مجموعة الأعداد المنطقية، لأنه يساوي +7/1، أي أنه المقام هو 1.
لذلك، فإن جميع الأعداد المنطقية هي أعداد موجبة وسالبة، وأعداد صحيحة تصل إلى الصفر، ويمكن كتابتها جميعًا في صورة كسر.
عندما نكتب عددًا نسبيًا، نضع علامة سالبة أمام الكسر أو بعد الرقم الموجود في البسط. على سبيل المثال، الرقم 3/4 له شكل سالب أو معكوسه الجمعي هو -3-4 و3-4 هو زائف.
نظرًا لأن هذا هو الشكل القياسي لكتابة كسر سالب، فيمكننا كتابة الأعداد العشرية كبسط ومقام لأي عدد كأرقام منطقية.
على سبيل المثال، الرقم 0.65، يمكننا كتابته في شكل نسبي، لذلك فهو 100/65 بمضاعفات المقام 10 وفقًا لعدد الأرقام بعد الفاصلة العشرية.
يمكن أيضًا كتابة الأعداد العشرية المتكررة في صورة أرقام منطقية، فمثلاً الرقم 0.44444 يمكن كتابته على شكل 1/4، لذلك من السهل التعامل مع الأرقام.

أمثلة على الأعداد المنطقية

جميع الأعداد الصحيحة هي أعداد نسبية، لأنها تتكون من بسط يساوي عددًا ومقامًا يساوي دائمًا واحدًا، لذا فهو غير مكتوب، وسنشرح ذلك في هذه الأمثلة

الرقم 2 هو رقم نسبي يمكن كتابته في صورة 5/1 ولا تتغير قيمته.
الرقم -15 هو رقم نسبي لأنه يمكن كتابته كبسط ومقام، وهو -1/1، لكن لا يمكن كتابته كـ -12/0، لأن الرقم المنطقي لا يقبل أن المقام يساوي صفرًا.

الكسور والأعداد الكسرية

جميع الكسور التي يمكن كتابتها كبسط ومقام أ / ب عندما يكون كل من أ وب عدد صحيحين وقيمة ب المقام لا يساوي صفر تعتبر أرقامًا منطقية.
وهي أيضًا أعداد نسبية تستوفي الشروط، لأن البسط والمقام عددان صحيحان والمقام لا يساوي صفرًا. هم أيضا أرقام منطقية.

بعض الأمثلة على الكسور والأرقام المنطقية

العدد الكسري 33/6 هو رقم نسبي، لأن الأعداد -33 و 6 أعداد صحيحة والمقام 33 لا يساوي صفرًا.
العدد الكسري 8/24 هو رقم نسبي لأن بسطه ومقامه أعداد صحيحة ومقامه لا يساوي صفرًا.
لكن يجب الانتباه إلى حقيقة أن بعض الكسور والأرقام المختلطة ليست أعدادًا منطقية، على سبيل المثال، الرقم 122 والصفر، على الرغم من أن كلاهما عدد صحيح، لكن 122/0 ليس عددًا نسبيًا لأن المقام يساوي صفرًا، لذا فإن قيمة الرقم غير معروفة.
الكسر 3 / π ليس عددًا نسبيًا على الرغم من أن المقام عدد صحيح، لكن π لا يمكن اعتباره عددًا نسبيًا.

الكسور العشرية

إذا كانت الكسور دورية أو محدودة، فيمكن اعتبارها أعدادًا منطقية، لأنه يمكن كتابتها كبسط ومقام أ / ب، كما في الأمثلة التالية.

يمكن التعبير عن الرقم 1.9 بالصيغة 1.9 / 1، لذلك فهو رقم نسبي، وإذا ضربنا البسط والمقام في الرقم 10، نحصل على الرقم 18/10، وهو أيضًا رقم نسبي، لأن العدد 19 والعدد 10 أعداد صحيحة والعدد 10 في المقام لا يساوي صفرًا.
الكسر العشري المتكرر … 2.222 يمكننا كتابته في صورة عدد كسري يساوي 1/2، وهو رقم نسبي، ويمكن ضرب المقام والبسط في 20 ليساوي 10/20، وهو عدد نسبي لأن البسط والمقام أعداد صحيحة والمقام يساوي 20 لا يساوي صفرًا.

أمثلة على الأعداد غير المنطقية

هذه الأمثلة هي من بين أشهر الأرقام غير المنطقية

الرقم النيبري هو e، لأن الرقم النيبري هو كسر عشري، ولكنه لا نهائي، وتمثل هذه الأرقام أول مكان عشري له، وهو 2.718281828459045235360287471352
الرقم pi، لأنه كسر عشري، ولكنه ليس لانهائيًا، وهذه هي الأرقام الموجودة في الخانات العشرية الأولى منه 3.1415926535897932384626433832795.
بعض الجذور التربيعية والجذور التكعيبية، حيث تكون بعض الكسور الناتجة عن الجذور عبارة عن كسور عشرية لا نهائية، على سبيل المثال، الجذر التربيعي للرقم 3 الذي يساوي …. 1.7320508075688772935274463415059.
أو الجذر التربيعي لـ 99 والذي يساوي… .9.9498743710661995473447982100121.
ومع ذلك، ليست كل الجذور التربيعية والتكعيبية أرقامًا غير منطقية، ويمكن توضيح ذلك بمثال الجذر التربيعي للرقم 16، والذي يساوي 4 وهو عدد نسبي.
أو بضرب جذري عددين غير نسبيين، مثل ضرب جذر 3 بضرب 3، تكون النتيجة 3، وهو عدد نسبي.

العمليات الحسابية على الأعداد النسبية

الرقم النسبي هو رقم مثل أي رقم يمكنه إجراء عمليات حسابية مثل الضرب والقسمة والجمع والطرح.

الجمع: يمكن جمع الأعداد الكبيرة معًا، ولكن بشرط واحد، وهو أن القواسم متماثلة، فيتم إضافة البسط إلى البسط أثناء تثبيت قيمة المقام.
الطرح: يمكننا إجراء عملية الطرح بنفس طريقة الجمع، لأنه لا يمكن طرح عددين مأخوذين من بعضهما البعض ما لم تكن مقاماتهما متطابقة، لذلك نطرح البسطين من بعضنا البعض ونأخذ نفس المقام .
الضرب: نقوم بعملية الضرب بضرب البسط في البسط والمقام في المقام ووضع حاصل ضرب البسط في بسط حاصل الضرب وحاصل ضرب المقام في بسط المقام.
القسمة: في عملية القسمة علينا إصلاح الكسر الأول كما هو، ونقلب الكسر الثاني بحيث يصبح المقام هو البسط والبسط هو المقام، ونحول علامة القسمة إلى عملية ضرب، و نقوم بضرب عادي، بضرب البسط في البسط والمقام في المقام.

خصائص الأعداد المنطقية

خصائص الأعداد المنطقية هي كما يلي:

إذا ضربنا عددًا صحيحًا لا يساوي صفرًا في رقم منطقي، فإن قيمة الرقم المنطقي تظل كما هي ولا تتغير قيمتها، لأن هذا الضرب ليس سوى مضاعف لأرقام البسط والمقام من نفس النسبة، من أجل على سبيل المثال، إذا قمنا بضرب 2/4 في 2، تكون النتيجة 4/8 وإذا قمنا بتبسيط أقرب صورة فسنحصل على 2/4.
إذا قسمنا رقمًا منطقيًا على عدد صحيح من النموذج والمقام بشرط أنه لا يساوي الصفر، فإن قيمة الرقم النسبي لا تتغير ولا يؤثر هذا القسمة على النتيجة، على سبيل المثال، قسمة 6 على z / 30 في 3 النتيجة هي 3/16 وهو رقم نسبي لكن صورته مبسطة.
إذا طرحنا أو أضفنا رقمين منطقيين، فيجب أن تكون النتيجة عددًا نسبيًا ولا يمكن أن تكون غير ذلك.
إذا ضربنا أو أضفنا أي رقمين كسريين لهما نفس المقام، فيجب أن يكون للنتيجة نفس المقام ويكون البسط هو الجمع أو الطرح.
إذا ضربنا رقمين كسريين في حاصل الضرب، فإن حاصل ضرب كلا الطريقتين هو حاصل ضرب المقام.
لذلك عندما نربّع الجذر، تكون النتيجة دائمًا عددًا نسبيًا، ورقم موجب داخل الجذر.
يصبح حاصل ضرب عددين غير نسبيين، مثل جذرين، عددًا نسبيًا، مثل جذر 3 وجذر 4، وبالتالي تكون النتيجة 12، وهو عدد نسبي.
يسمى الرقم المنطقي بالصيغة القياسية للرقم المنطقي إذا كان غير قابل للاختزال، أي أن العامل الوحيد بين البسط والمقام هو العدد الصحيح.
لا يمكن أن ينتج عن عملية جمع أو طرح الأرقام غير المنطقية أرقامًا منطقية ما لم يكن الرقمان المنطقيان متماثلان، ولكن لهما علامة مختلفة، مما ينتج عنه رقم منطقي، وهو صفر، وتسمى العلاقة بين هذين الرقمين علاقة المعكوس الجمعي.

الفرق بين الأعداد المنطقية والأعداد غير النسبية

الرقم المنطقي: يسمي أي رقم يمكن كتابته في صورة كسر من البسط والمقام ويكون كلا الرقمين في البسط والمقام أعدادًا صحيحة والمقام لا يساوي صفرًا، سواء كان الرقم المنطقي سالبًا أم موجبًا، مثل مثل 3/4.
الرقم غير النسبي: يسمى الرقم الذي لا يمكن كتابته ككسر عادي بسط ومقام عدد غير نسبي، مثل الجذر التربيعي للرقم 5، لأنه كسر عشري لا ينتهي برقم معين، ولكن بدلا من ذلك يستمر إلى الأبد.

في نهاية رحلتنا مع ما هي الأرقام النسبية في الرياضيات؟ يقسم علماء الرياضيات الأرقام وفقًا لخصائصها، مما ينتج عنه مجموعات مختلفة، بما في ذلك مجموعة الأرقام المنطقية.