تحليل الفرق بين مكعبين

عند تحليل الفرق بين مكعبين، فهذه إحدى المشكلات الرياضية المهمة التي يبحث عنها العديد من الطلاب في أوقات الذروة للامتحانات، لأن هذا التحليل هو أكثر ما يميز اختبار القمم الذي يحدث اليوم، ولهذا سوف نوضح لكم في هذا المقال ما هو تحليل الفرق بين المكعبين.

حلل الفرق بين المكعبين

• الفرق بين المكعبين حالة رياضية لعدة أسباب سنناقشها في هذا المقال.
  • لكن عليك أن تعرف تكوين الفرق بين المكعبين أولاً.
• القاعدة الأساسية الأولى للفرق بين مكعبين هي الحدود x³ – y³، إذا كانت x³: الحد الأول.
  • ومن ثم يجب أن يكون مكعبًا مثاليًا، بينما r³: هو الحد الثاني ويجب أن يكون أيضًا مكعبًا مثاليًا.
• الإشارة بين المصطلحين هي الاختلاف أو الطرح، وبناءً على ذلك، يتم تفسير الفرق بين المكعبين.

ولا تنس قراءة مقالنا عن: تحليل الفرق بين مربعين رياضيين بالأمثلة

كيف تحلل الفرق بين المكعبين؟

• معادلة الفرق بين المكعبين كالتالي: =
  • (الجذر التكعيبي للحد الأول – الجذر التكعيبي للحد الثاني) x (تربيع الجذر التكعيبي للحد الأول + حاصل ضرب الجذر التكعيبي للحد الأول مضروبًا في الجذر التكعيبي للحد الثاني + مربع الجذر التكعيبي للحدود الثانية).
  • يمكن تفسيره بالرموز (x³-y³) = (xy) (x² + xy + y²).
• من أجل تحليل الفرق بين مصطلحي مكعب، يجب تلبية متطلبات رياضية معينة.
• هذه المتطلبات هي أن المعادلة مكتوبة في شكل الصيغة العامة: (x ³ – y ³).
  • ثانيًا، تأكد من عدم وجود عامل مشترك بين المصطلحين، وإذا كان موجودًا، فيجب إزالته أولاً من المعادلة.
  • ثم يفتح الأقواس، بحيث تُظهر العلاقة بينهما علاقة الضرب بالتدوين المضروب.
  • التي تؤخذ في الخطوة الأولى خارج الأقواس، وضربها بهما.
• بعد ذلك، تكتب في القوس الأول علامة طرح، بينما تكتب في القوس الثاني علامتي جمع بهذا الشكل (-) x (+ +).
• بعد ذلك سيكون الأمر على هذا النحو، بحساب الجذر التكعيبي للحد الأول وكتابته بدون الإشارة الموجودة في القوس الأول قبل علامة الطرح.
  • بهذه الطريقة: (x-) x (+ +) مع حساب الجذر التكعيبي للحد الثاني.
  • واكتبها بدون علامة في القوس الأول بعد علامة الطرح بهذه الطريقة (xy) x (+ +).
  • إذن، اكتمل الشكل النهائي للقوس الأول.
• بينما تم عمل القوس الثاني بالشكل التالي عن طريق تربيع الجذر التكعيبي للمصطلح الأول: (س) ².
  • إنه مكتوب بهذا الشكل في القوس الثاني قبل علامة الجمع الأولى. (xy) x (x² + +).
• ثم تم العثور على حاصل ضرب الحد الأول في الحد الثاني: ch.
  • حاصل ضرب الضرب مكتوب داخل القوس الثاني بين علامتي جمع:
  • (xy) x (x² + (xx y) +)، ثم قم بتربيع الجذر التكعيبي للحد الثاني: (y) ².
  • وهو مكتوب داخل القوس الثاني بعد العلامة الإضافية الثانية: (xy) × (x² + (x × y) + y²).
  • إذن، نتيجة المعادلة الأخيرة بين الأقواس هي: (x³-y³) = (xy) x (x² + (x × y) + y²).

سوف تتعلم أيضًا عن: متوازي المستطيلات ومستطيلات

أمثلة على تحليل الفرق بين مكعبين

من بين المعادلات التجريبية التي تساعدنا على فهم واقعي:

أم لا

• دعنا نحاول حل المصطلحات التالية في عاملها الأولي x ³-27- (3)، الحل هو:
  • تمثل ذات الحدين التي نأخذها الفرق بين مكعبين حيث x³ مكعب كامل.
  • يأتي المصطلح 27 أيضًا في صورة مكعب كامل، والجذر التكعيبي للمصطلح (x³) يساوي x.
  • أيضًا، الجذر التكعيبي للمصطلح (27) يساوي 3، وبعد ذلك ستكون صيغة الفرق بين المكعبين:
  • x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)، النتيجة هي: x³-27 = (x-3) (x² + 3x + 9).
• نصل إلى المعادلة الثانية وهي (64-125) (4) باستخدام الفرق بين المكعبين.
  • يمكننا أن نستنتج أن الحد الأول 125 هو مكعب كامل = 5 × 5 × 5.
  • أيضًا، الحد الثاني 64 هو مكعب كامل = 4 × 4 × 4، لذلك يمكننا حل هذه المشكلة على النحو التالي:
  • 64-125 = (4) ³- (5) ³، بالاعتماد على القاعدة السابقة للفرق بين مكعبين وتغييرها، نرى أخيرًا ما يلي:
  • (4) ³- (5) ³ = (4-5) × ((4) ² + (4 × 5) + (5) ²) (4) ³- (5) ³ = (1-) × (16) + 20 + 25) = 61-
• بينما يدور المثال التالي حول محاولة حل ذات الحدين التاليين إلى عامله الأولي x ³-8.[٣].
  • ثم يكون الحل: النتيجة ذات الحدين هي الفرق بين المكعبين.
  • لأن المصطلح x³ يعتبر مكعبًا كاملاً، والمصطلح 8 يأتي أيضًا في شكل مكعب كامل.
  • الجذر التكعيبي للحد (x³) يساوي x، والجذر التكعيبي للمصطلح (8) هو 2.
  • لذلك، وفقًا لقانون الفرق بين المكعبين: x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²).
  • النتيجة النهائية هي: x³-8 = (x-2) (x² + 2x + 4).
• نأتي إلى المسألة الرابعة: حلل ما يتعلق بمعاملها الأولي 64x³-343y³.[٣].
  • هنا يكمن الحل الأول 64x³ a مكعب كامل = 4x.
• المصطلح الثاني 343r³ هو مكعب كامل = 7y x 7y x 7y، وكتابة الناتج النهائي:
  • 64x³-343r³ = (4x) ³- (7y) ³، ثم بالقاعدة الرئيسية الأولى للفرق بين مكعبين.
  • ينتج عن استبدال هذا ما يلي: (4x) ³- (7y) ³ = (4x-7y) x (4x) ² + (4x x 7y) + (7y) ² (4x) ³- (7y) ³ = (4x) -7 ص) × (16 س 2 + 28 س ص + 49 س 2).

ثانيا

نأتي إلى السؤال الخامس بنفس أسلوب الامتحان النهائي الذي يطلب منا تحليل ما يلي لأهم أسبابه:

• 250 × 4-128 × باستخدام الفرق بين المكعبين.[٢]وهنا سيكون الحل على هذا النحو.
• قبل ذلك يجب التأكد من عدم وجود سبب مشترك بين الحدود وخاصة في هذه الحالة.
• نظرًا لأن المصطلحين ليسا مكعبًا كاملاً، يصبح العامل المشترك 2x، وهو ما يؤخذ على هذا النحو.
  • 2h (125h³-64)، والتي تتضمن مكعبين كاملين.
  • الجذر التكعيبي للحد (125x³) هو 5x.
• أيضًا، الجذر التكعيبي للمصطلح (64) يساوي 4، والتي لها القاعدة الأولية لقانون الفرق بين مكعبين:
  • x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)، النتيجة هي:
  • 250×4-128x = 2x (5x-4) (25x² + 20x + 16). أ
• المسألة السادسة حلل العوامل الأولية التالية: 40x³-625r³.[٥].
• يجب علينا أولاً اتباع نفس الخطوات السابقة، وهو ضمان عدم وجود عامل مشترك بين المصطلحات.
  • في هذه الحالة، نعلم أن هناك عاملًا مشتركًا هو 5، لذلك يمكن أخذه بحيث يمكن أن تكون المشكلة على النحو التالي:
  • 5 (8x³-125y³)، التي تتضمن مكعبين كاملين، الجذر التكعيبي للمصطلح (8x³) هو 2x.
• أيضًا، الجذر التكعيبي للمصطلح (125 ص) يساوي 5 ص، لذلك وفقًا للقاعدة الأولية لقانون الفرق بين مكعبين:
  • x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)، النتيجة هي:
  • 40H-625Y³ = 5 (2H-5AM) (4H² + 10HY + 25Y²).
• العدد السابع Q³ p. 6-64.[٦]حيث نرى أن المستنتج ذو الحدين يمثل الفرق بين المكعبين.
  • حيث يعتبر المصطلح x³r6 مكعبًا كاملاً، والمصطلح 64 هو أيضًا مكعب كامل.
  • الجذر التكعيبي للمصطلح (x³y6) يساوي xy²، والجذر التكعيبي للمصطلح (64) هو 4.
• ووفقًا لقاعدة الإبهام الأولية للفرق بين المكعبين: x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²).
  • والنتيجة هي: x³y6-64 = (xy²-4) (x²y4 + 4xy² + 16).
• المسألة الثامنة، وهي 27h ³-1 / (8 y³).[٧]والحل على النحو التالي، يمثل المستنتج ذو الحدين الفرق بين المكعبين.
• لأن المصطلح 27x³ يعتبر مكعبًا مثاليًا، والمصطلح 1 / (8r³) هو أيضًا مكعب مثالي.
• الجذر التكعيبي للمصطلح (27x³) هو 3x، والجذر التكعيبي للمصطلح 1 / (8y³) هو 1 / (2y).
• إذن، القاعدة الأولية للفرق بين مكعبين هي: x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²).
  • والنتيجة هي: 27h³-1 / (8y³) = (3h-1 / (2y)) (9h² + (3h) / (2y) + 1 / (4y²)).

ثالث

• المسألة التاسعة هي x ³-1.[٨]وسيكون الحل بهذا الشكل وقبل أن يتم التأكيد على أن هناك سببًا مشتركًا.
  • في هذه الحالة أيضًا لا شيء، تمثل ذات الحدين الفرز بين المكعبين.
  • لأن المصطلح x³ يعتبر مكعبًا كاملاً، والمصطلح 1 هو أيضًا مكعب كامل.
  • الجذر التكعيبي للمصطلح (x³) يساوي x، والجذر التكعيبي للحد 1 هو 1.
• ووفقًا للقاعدة الأولية لقانون الفرق بين المكعبين: x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²)، ستكون النتيجة:
  • S³-1 = (S-1) (S² + S + 1).
• المسألة العاشرة هي 648x³-81.[٨]الحل متجذر في تلك المعادلة.
  • في هذه الحالة، يجب أن نتأكد من وجود سبب مشترك للثلاثة التي يمكن إزالتها بحيث يمكن أن تكون المشكلة على النحو التالي:
  • 3 (216x³-27) التي تحتوي على مكعبين كاملين، فإن الجذر التكعيبي للمصطلح (216x³) هو 6x.
• بالإضافة إلى أن الجذر التكعيبي للمصطلح (27) هو 3، لذلك وفقًا للقاعدة الأولية للفرق بين مكعبين:
  • x³ – y³ = (x – y) (x² + xy + y²).
  • ستكون النتيجة النهائية 648x³-81 = 3 (6x-3) (36x² + 18x + 9).

سترى أيضًا: قانون مساحة ومحيط المكعب

قم بتحليل الفرق بين المكعبين في المسائل التي لا تحتاج إلى التسرع في حلها، قبل أن تلجأ إلى معرفة الحد الأوسط أو العامل المشترك، حتى تحصل على النتيجة النهائية الصحيحة، ولا تنسَ الحاجة إلى استخدام القاعدة الأولية التي ذكرناها في بداية مقالتنا نتمنى لكم المزيد من التميز والنجاح.