المراجع قانون الحجم المكعب، يتم تعريف الحجم على أنه مقدار المساحة أو المادة في شكل ثلاثي الأبعاد، ويتم قياس الحجم بالأمتار المكعبة وفقًا لنظام الوحدة الكلي.
حدد مستطيلاً
- يمكن تفسير متوازي المستطيلات على أنه كيان ثلاثي الأبعاد، أي أن له الطول والعرض والارتفاع، وشكله مشابه لشكل الصندوق، وعادة ما يعتبر خاصًا وهو حالة المنشور وتتكون من الأجزاء التالية:
- الوجه: المنشور المستطيل له ستة أوجه مستطيلة تسمى الوجوه المستطيلة.
- الحواف هي الحواف التي تشكل وجهًا، والتي يمكن تعريفها بطريقة أخرى كخط مستقيم يربط رأسين متجاورين من متوازي المستطيلات.
- الرأس: هي النقطة أو الزاوية التي تلتقي فيها الأحرف الثلاثة في خط متوازي السطوح، وكلها في وضع مستقيم.
راجع أيضًا: مساحة المستطيل ومحيطه
خصائص متوازي المستطيلات
- بالإضافة إلى تلك المذكورة في التعريف السابق، تتميز المناشير المستطيلة أيضًا بمجموعة من الخصائص:
- كل زوج من الوجوه المتقابلة لمنشور قائم الزاوية متوازي ومحاذاة تمامًا.
- المنشور قائم الزاوية له ستة أوجه وثمانية رؤوس واثني عشر جانبًا.
- الحواف المعاكسة للمنشور متساوية.
- وتجدر الإشارة هنا إلى أنه إذا تساوى الارتفاع والعرض والطول، فإن المكعب يسمى المكعب.
حجم المنشور المستطيل
يمكن حساب حجم متوازي المستطيلات ثلاثي الأبعاد بالصيغة التالية:
- حجم متوازي المستطيلات = الارتفاع × العرض × الارتفاع
- وفي الرمز: H = A × B × C
- H: حجم متوازي المستطيلات.
- ج: طول متوازي المستطيلات.
- ب: عرض متوازي المستطيلات.
- ج: طول متوازي المستطيلات.
أمثلة لحساب حجم متوازي المستطيلات
1- المثال الأول
- ما هو حجم المنشور المستطيل بطول 14 سم وعرض 12 سم وارتفاع 8 سم؟
- الحل: حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع.
- إذن: حجم متوازي المستطيلات = 14 × 12 × 8 = 1344 سم 3
2- المثال الثاني
- ما حجم خط متوازي طوله ١٤ سم وعرضه ٥٠ مم وارتفاعه ١٠ سم؟
- الحل: حجم متوازي المستطيلات = الارتفاع × العرض × الارتفاع
- نظرًا لأن الطول والارتفاع بالسنتيمتر، يجب تحويل العرض إلى سنتيمترات بحيث تكون جميع الأبعاد في نفس الوحدة، 10 مم = 1 سم، وبالتالي فإن العرض يساوي: 50 مم / 10 سم = 5 سم.
- نظرًا لأن الأبعاد في نفس الوحدة، تم العثور على الحجم التالي: حجم المنشور المستطيل = 14 × 5 × 10 = 700 سم 3.
3- المثال الثالث
- في حالة شراء جدار متوازي مستطيل طوله 7.5 سم وطوله 25 سم وعرضه 10 سم، يبلغ طول كل 1000 طوبة 20 مم وطولها 2 مم وعرضها 0.75 مم. ما هي تكلفة؟ بقيمة 900 قطعة نقدية؟
- الحل: حجم الجدار هو حجم متوازي المستطيلات، ويمكن حسابه على النحو التالي:
- حجم الجدار = الطول × العرض × الارتفاع = 20 م × 2 م × 0.75 م = 30 م³.
- يمثل حجم الطوب أيضًا حجم متوازي المستطيلات، والذي يمكن حسابه على شكل قرميد = 25 سم × 10 سم × 7.5 سم = 1875 سم مكعب.
- عدد الطوب المطلوب = عدد الجدار / عدد الطوب فيما عدا أن عدد الطوب بالسنتيمتر المكعب ورقم الجدار بالأمتار المكعبة، لذلك يجب تحويل حجم الجدار بقسمة الكمية ( 1،000،000) سم مكعب لتوحيد الوحدة.
- لأن كل 1 م³ = 1،000،000 سم مكعب، حيث: حجم الطوب (متر مكعب) = 1875/1000000 = 0.001875 م.
- عدد الطوب = 30 / 0.001875 = 16000 طوبة.
- العملية التناسبية، النسبة بين كمية القالب وتكلفته كما يلي:
- كل 1000 مربع → 900 قطعة نقدية
- كل 16000 متر مربع ← ؟؟
- من خلال الضرب التبادلي، تكون تكلفة الكتلة = 900 × 16000/1000، أي ما يعادل 14400 قطعة نقدية.
4- المثال الرابع
- يبلغ طول المسبح الأولمبي 50 مترا وعرضه 25 مترا وعمقه مترين. ما هي كمية المياه التي يمكن أن يحتفظ بها المسبح؟
- الحل: يمكن التعبير عن حجم الماء في البركة بالحجم، وحجم الماء يساوي حجم متوازي المستطيلات، وسيكون على النحو التالي:
- حجم متوازي المستطيلات =
- الطول × العرض × الارتفاع = 50 × 25 × 2 = 2500 متر مكعب، وهو حجم الماء في البركة.
5- المثال الخامس
- إذا كان ارتفاع متوازي المستطيلات 8 سم وارتفاعه 3 سم، فما عرضه إذا كان حجمه 120 سم 3؟
- الحل: حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع.
- إذن، 120 = 8 × العرض × 3. حل هذه المعادلة، العرض = 5 سم.
6- المثال السادس
- صمم فؤاد علبة على شكل مستطيل متوازي السطوح مقاس 2500 سم 3 وارتفاع 25 سم وقاع مربع. ثم أدرك أنه بحاجة إلى صندوق أصغر، فقصه من طوله إلى 1000 سم مقاس 3.
- تظل المساحة الموجودة أدناه كما هي، وبالتالي يصبح الارتفاع مرتفعًا جدًا، ويتحول شكل الصندوق إلى مكعب؟
- الحل: استخدم صيغة حجم متوازي المستطيلات = الارتفاع × العرض × الارتفاع لحساب المساحة السفلية.
- نظرًا لأن الحجم = 2500 سم 3 والطول = 25 سم، فعوضًا عن هذه القيم في معادلة الحجم، يمكنك الحصول على مساحة القاعدة المربعة على النحو التالي:
- 2500 = (الطول × العرض) × الطول = (الطول × العرض) × 25، بقسمة كلا الجانبين على (25)، يمكنك أن ترى بوضوح: 100 سم 2 = الطول × العرض، وهي مساحة القاعدة.
- احسب طول وعرض مربع القاعدة كما يلي:
- مساحة القاعدة = (طول الضلع) 2، بدءًا من هذا: طول الضلع = 100√ = 10 سم، وبما أن القاعدة مربعة، فإن عرضها أيضًا 10 سم.
- باستخدام قانون الحجم في خط متوازي السطوح المستطيل، بعد قطع جزء من الطول، احسب ارتفاع الصندوق، واحصل على: حجم الصندوق بعد القطع = الطول × العرض × الارتفاع، من حيث:
- 1000 = 10 x 10 x height نتيجة قسمة جانبي (100) هي: ارتفاع جديد = 10 سم.
- نظرًا لأن الارتفاع = العرض = الارتفاع، فإن الشكل الناتج يكون مكعبًا.
7- المثال السابع
- ما مقدار الهواء الموجود في غرفة على شكل مستطيل متوازي السطوح بطول 5 أمتار وعرض 6 أمتار وارتفاع 10 أمتار؟
- الحل: حجم الهواء في الغرفة = سعة الغرفة = حجم المستطيل.
- حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع، حجم متوازي المستطيلات = 5 × 6 × 10 = 300 متر مكعب، وبالتالي فإن حجم الهواء في الغرفة 300 متر مكعب.
8- المثال الثامن
- قضيب معدني على شكل متوازي المستطيلات طوله 10 أمتار وعرضه 60 سم وسمكه 25 سم وإذا كان المتر المكعب يكلف 250 دولار فما هو سعره؟
- الحل: لحساب سعر العمود المعدني، يجب أولاً حساب حجمه، لأن السعر = التكلفة لكل متر مكعب × حجم المنشور المستطيل، ستحصل على:
- حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع = 10 × (60/100) × (25/10)، وتجدر الإشارة إلى أنه مقسوم على 100 لتحويل السنتيمتر إلى متر.
- حجم منشور الزاوية اليمنى = 1.5 متر مكعب، سعر الشعاع المعدني = 1.5 × 250 = 375 دولار أمريكي.
9- المثال التاسع
- ما ارتفاع متوازي المستطيلات إذا كان حجمه 300 سم 3 وقاعدته 30 سم؟
- الحل: حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع. الطول يظهر كما يلي:
- الجزء السفلي عبارة عن مستطيل، لذا مساحته = الطول × العرض، أي 30 سم.
- يمكن إيجاد الارتفاع من معادلة الحجم كالتالي: 300 = 30 × ارتفاع، ومنه الارتفاع: 300/30 = 10 سم.
أنظر أيضا: شكل متوازي المستطيلات في الرياضيات
10- المثال العاشر
- بركة سباحة مستطيلة الشكل فارغة بطول 25 م وعرض 10 م وعمق 2 م ويمكن ملؤها بالماء بمعدل 800 لتر في الدقيقة.
- لذا تعرف بالضبط كم دقيقة وكم دقيقة يستغرقها المتر المكعب = 1000 لتر وقت لملئه؟
- الحل: لحساب كمية الماء اللازمة لملء البركة، يمكنك استخدام صيغة حجم متوازي المستطيلات = الارتفاع × العرض × الارتفاع لحساب، ثم الحصول على:
- حجم متوازي المستطيلات = 25 × 10 × 2 = 500 م 3، وهي كمية الماء اللازمة لملء البركة.
- الوقت اللازم لإكمال الملء = الحجم / معدل التعبئة، والفرق هو أن معدل الملء يجب أن يقسم أولاً على لتر على (1000)، ثم تحويله من لتر إلى متر مكعب.
- حيث أن كل متر مكعب = 1000 لتر أي 800 لتر / دقيقة = 800/1000 = 0.8 م / دقيقة، لذلك:
- الوقت المطلوب لملء المسبح بالكامل = 500 م / ((0.8) م 3 / دقيقة) حيث الوقت بالدقائق = 625 دقيقة والوقت بالساعات = 625/60 = حوالي 10 ساعات ونصف.
11- المثال الحادي عشر
- إذا كان حجم قاع الصندوق أ (أي الطول والعرض) هو: 10 سم × 8 سم، وحجم قاع الصندوق ب: 15 سم × 10 سم، يكون المربعان أ وب بالشكل متوازي السطوح المستطيل.
- صب الماء في الصندوق (ب) ما هو ارتفاع الماء في الصندوق؟
- الحل: كمية الماء (الحجم) في المربع أ = كمية الماء (الحجم) في المربع ب، ثم استبدل صيغة حجم المستطيل شبه المكعب = الطول × العرض × الارتفاع.
- ثم تصبح: 10 × 8 × 15 = 15 × 10 × ارتفاع، والتي يتم الحصول عليها من خلال حل المعادلة: الارتفاع = 8 سم.
12- المثال الثاني عشر
- إذا كان حجم الصندوق المستطيل 1440 م 3 وارتفاعه 15 م وارتفاعه 8 م، فما ارتفاعه؟
- الحل هو: حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع.
- من هذا نحصل على: 1440 = 15 × 8 × الطول، وحل المعادلة واضح.
- الإرتفاع = 1440/120 = 12 م.
13- المثال الثالث عشر
- إذا كان حجم قاع الصندوق المستطيل 80 سم × 40 سم، والحجم 160 لترًا.
- أحمد يريد أن يرسم من كل الجوانب ماعدا قاع الصندوق، تكلفة الدهان 6000 قطعة نقدية / مربع، أرجو معرفة تكلفة الرسم؟
- الحل: استخدم صيغة الحجم لمنشور مستطيل لحساب ارتفاع الصندوق، باستثناء أنه يجب عليك أولاً تحويل اللتر إلى سنتيمترات مكعبة لمضاعفة الحجم في (1000) لتوحيد الوحدة.
- بما أن 1 لتر = 1،000 سم مكعب، تحصل على: حجم المنشور المستطيل = 160 لترًا = 160،000 سم مكعب.
- ثم استبدل هذه القيمة في صيغة حجم متوازي المستطيلات: الارتفاع × العرض × الارتفاع، وستحصل على:
- 000 = 80 × 40 × ارتفاع، بدءًا من هذا الارتفاع: الارتفاع = 50 سم.
- مساحة المنشور المستطيل، باستثناء القاع = المنطقة الجانبية + القاع العلوي =
- 2 × الطول × (الطول + العرض) + الطول × العرض =
- 2 × 50 × (80 + 40) + 80 × 40 = 15200 سم² = 1.52 م²، لأن 1 م² = 1000 سم².
- حساب تكلفة الطلاء = مساحة الصندوق × تكلفة الطلاء = 1.52 متر مربع × 6000 قطعة نقدية / متر مربع = 9،120 قطعة نقدية.
أنظر أيضا: متوازي المستطيلات و متوازي المستطيلات
في مقال اليوم، نناقش قانون حجم متوازي المستطيلات وشرح أمثلة مفصلة للقانون لمساعدة الطلاب على حل جميع المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.