الأولويات الحسابية في الرياضيات، عندما يُطلب منك تبسيط شيء مثل “4 + 2 × 3″، فإن السؤال الذي يطرح نفسه بشكل طبيعي هو: كيف أفعل هذا؟ لأن هناك خياران!
إما أن أجمع أولاً والنتيجة هي: 4 + 2 × 3 = (4 + 2) × 3 = 6 × 3 = 18، أو يمكنني الضرب أولاً والنتيجة هي: 4 + 2 × 3 = 4 + (2 × 3) = 4 + 6 = 10، ما هي الإجابة الصحيحة؟ تابع موقع محمود حسونةة للتعرف على أولويات العمليات الحسابية في الرياضيات.
الأولوية الحسابية
يبدو أن الإجابة تعتمد على الطريقة التي تنظر بها إلى المشكلة، لكن ليس لدينا هذه المرونة في الرياضيات.
لا تعمل الرياضيات إذا لم تكن متأكدًا من الإجابة، أو إذا كان بالإمكان حساب نفس التعبير بالضبط.
لذا يمكنك الوصول إلى إجابتين مختلفتين أو أكثر طالما أنهما متفقان على النتيجة.
للقضاء على هذا الالتباس، لدينا بعض قواعد الأسبقية، والتي تم وضعها على الأقل منذ القرن السادس عشر.
يُعرف هذا باسم “ترتيب العمليات”، وهذه العمليات هي الجمع والطرح والضرب والقسمة والأس والتجميع.
تسلسل هذه العمليات هو كما يلي: “الأقواس، الأس، الضرب والقسمة، الجمع والطرح”.
يمكن توضيح ذلك من خلال: الأقواس تهزم الأسس، التي تهزم الضرب والقسمة (لكن الضرب والقسمة في نفس الترتيب).
الضرب والقسمة لهما الأسبقية على الجمع والطرح (كلاهما بترتيب أدنى)، بمعنى آخر، الأسبقية هي:
- الأقواس (بسّط الأرقام الموجودة داخل الأقواس).
- الأس.
- الضرب والقسمة (من اليمين إلى اليسار إذا كانت الأرقام عربية، ومن اليسار إلى اليمين إذا كانت الأرقام بالإنجليزية).
- الجمع والطرح (من اليمين إلى اليسار إذا كانت الأرقام عربية، ومن اليسار إلى اليمين إذا كانت الأرقام بالإنجليزية).
اقرأ أيضًا: ما هي الأرقام المنطقية في الرياضيات؟
اتجاهات حل المشكلة
إذا كانت لديك مجموعة من العمليات من نفس الرتبة، فأنت تعمل من اليسار إلى اليمين.
على سبيل المثال، “15 ÷ 3 × 4” ليس “(15 ÷ 3) × 4 = 5 × 4″، ولكن “15 ÷ (3 × 4) = 15 12.”
لأنه بالانتقال من اليسار إلى اليمين، يمكنك أن ترى أن الانقسام حدث أولاً.
إذا لم تكن متأكدًا، فجربها على الآلة الحاسبة الخاصة بك، والتي تمت برمجتها باستخدام التسلسل الهرمي للعمليات.
على سبيل المثال، إذا قمت بكتابة التعبير أعلاه في آلة حاسبة بيانية، فستحصل على:
20 = 15 3 × 4
باستخدام التسلسل الهرمي أعلاه، يمكننا أن نرى ذلك في السؤال “4 + 2 × 3” في بداية هذه المقالة.
الخيار الثاني (بقيمة 10) هو الإجابة الصحيحة، لأننا نحتاج إلى الضرب قبل القيام بعملية الجمع.
عامل تسلسل العمليات الحسابية
ترتيب العمليات طبيعي لتجنب سوء الفهم، ولكن يمكن أن يتسبب نظام PEMDAS في حدوث ارتباك خاص به.
يميل بعض الطلاب أحيانًا إلى استخدام التسلسل الهرمي كما لو كانت جميع العمليات على نفس “المستوى” (الذي ينتقل من اليسار إلى اليمين)، ولكن عادةً لا تكون هذه العمليات “متماثلة”.
عادة، حل المشكلات من الداخل إلى الخارج، بدلاً من حل المشكلات من اليسار إلى اليمين.
نظرًا لأن بعض أجزاء التمرين تكون عادةً “أعمق” من غيرها، فإن أفضل طريقة لشرحها هي عمل بعض الأمثلة:
- بسّط التعبير: 32 + 4
الحل: في هذا المثال، نحتاج إلى تبسيط المصطلح باستخدام الأس قبل محاولة إضافة الرقم 4. ويمكن وصف ذلك على النحو التالي:
13 = 9 + 4 = 32 + 4، إذن التعبير المبسط هو 13
مثال
- بسّط التعبير: 2 (1 + 2) + 4
الحل: في هذا المثال، نحتاج إلى تبسيط الأرقام الموجودة داخل الأقواس أولاً، قبل الانتقال إلى الأس.
وبعد ذلك يمكننا إضافة الرقم 4 ويمكن وصفه كالتالي:
13 = 9 + 4 = 2 (3) + 4 = 2 (1 + 2) + 4، لذا فإن التعبير المبسط هو 13
مثال آخر
- بسّط المجموع 2 [(1 – 2-) 1-] + 4
لا يجب أن أحاول عمل هذه الأقواس المتداخلة من اليسار إلى اليمين، لأن هذه الطريقة عرضة للخطأ.
بدلاً من ذلك، دعونا نحاول العمل من الداخل إلى الخارج. أولًا، لنبسط الأرقام الموجودة داخل الأقواس المتعرجة.
وبعد ذلك سنبسط ما يوجد داخل الأقواس المربعة، ثم سنعتني بالتربيع.
بعد ذلك نضيف الرقم 4 والذي يمكن وصفه كالتالي:
2 [(1 – 2-) 1-] + 4
2[(3-) 1-] + 4 =
2[3] + 4 =
9 + 4 =
13 =
لا يوجد معنى خاص في استخدام الأقواس المربعة (“[” و “]”أعلاه)، بدلاً من الأقواس.
يتم استخدام الأقواس المتعرجة والأقواس المتعرجة (الأحرف “{” و “}”)، عند وجود أقواس متداخلة، كوسيلة مساعدة لتتبع الأقواس المستخدمة مع الأقواس.
أيضًا، يتم استخدام أحرف التجميع المختلفة فقط للراحة، وهذا هو نفسه ما يحدث في جدول بيانات Excel عند إدخال صيغة باستخدام الأقواس:
يتم ترميز كل مجموعة من الأقواس بالألوان، حتى تعرف الأزواج التي:
مقالة – سلعة
- بسّط التعبير: (4/3 + 2 / 3-) 4
الحل: لنبسط الأرقام الموجودة داخل الأقواس أولاً. يمكن وصف ذلك على النحو التالي:
(4/3 + 2 / 3-) 4
أيضا (3/4 + 2-) 4 =
أيضا (3/2) 4 =
3/8 =
إذن، القيمة المبسطة للتعبير هي 3/8
مشاكل التبسيط
تأتي معظم مشاكل تبسيط سلسلة من العمليات من الأقواس المتداخلة والأسس وعلامات الطرح.
لذلك، في الأمثلة التالية، سنشرح كيفية التعامل مع هذه الأنواع من التعبيرات.
مثال
- بسّط التعبير: 2 ÷ [(3 – 6) 2 – 4] 3-4
الحل: لنبسط التعبير من الداخل إلى الخارج: أولاً الأقواس، ثم الأقواس المربعة، مع الحرص على تذكر أن علامة الطرح 3 أمام الأقواس تساوي 3.
وبمجرد تجميع الأجزاء، سنقوم بالقسمة، متبوعة بإضافة الرقم 4. ويمكن وصف ذلك على النحو التالي:
2 ÷ [(3 – 6) 2 – 4] 3-4
2 ÷ [(3) 2 – 4] 3-4 =
أيضا 2 ÷ [6 – 4] 3-4 =
بينما 2 ÷ [2-] 3-4 =
أيضًا، 2 6 + 4 =
أخيرًا يساوي 3 + 4 =
7 =
إذن، القيمة المبسطة للتعبير هي 7
مثال آخر
- بسّط التعبير: 5 ÷ 2 (3-8) 3 – 16
الحل: يجب أن تتذكر أنك بحاجة إلى تبسيط محتويات الأقواس قبل القيام بعملية التربيع.
لأن الرقم 2 (3-8) يختلف عن 32-82، ويمكن وصفه على النحو التالي:
5 ÷ 2 (3-8) 3-16
يساوي أيضًا 5 2 (5) 3 – 16 =
5 ÷ (25) 3-16 =
بينما 5 75-16 =
ونصل إلى 15-16 =
1 =
لذلك، فإن القيمة المبسطة للتعبير هي 1.
اخترنا لكم: ما هي الخوارزميات الرياضية؟
المتغيرات في العمليات الحسابية
إذا كنت تتعلم عن المتغيرات ومجموعات المصطلحات، فقد تجد أيضًا تمارين مثل هذه:
- بسّط القيمة: [(14x + 5 [6 – (2x + 3
الحل: إذا واجهت مشكلة في أخذ عملية طرح من خلال قوسين، فيمكنك تحويلها إلى ضرب سالب 1 في الأقواس (لاحظ اللون الأحمر المميز “1” أدناه):
[(14x + 5 [6 – (2x + 3
أيضًا [(14x + 5[6 – 1(2x + 3 =
[14x + 5[6 – 2x – 3 =
بينما يكون [14x + 5[3 – 2x =
14x + 15 – 10x =
4x + 15 =
وبهذا تكون القيمة المبسطة للمقدار هي 4x + 15
مثال
- بسّط المقدار: {2x – [3 – (4 – 3x)] + 6x} –
الحل: يجب أن تتذكر تبسيط كل خطوة ومزج المصطلحات المتشابهة متى وأينما يمكنك:
{2x – [3 – (4 – 3x)] + 6x} – =
أيضًا 2x – 1[3 – 1(4 – 3x)] + 6x} – =
{2x – 1[3 – 4 + 3x] + 6x} – =
بينما {2x – 1[– 1 + 3x] + 6x} – =
{2x + 1 – 3x + 6x} – =
أيضًا عندما تكون {2x + 6x – 3x + 1} – =
حيث {5x + 1} – =
5 س – 1- =
لذلك، فإن القيمة المبسطة للتعبير هي 5x – 1.
التعبيرات ذات الصيغ الكسرية
يمكن أن تتسبب التعبيرات ذات الصيغ الكسرية أيضًا في حدوث ارتباك، طالما أنك تستخدم البسط (مثل الجزء العلوي).
والمقام (أي أدناه) بشكل منفصل، حتى يتم تبسيطهما تمامًا أولاً، وبعد ذلك فقط يتم زيادة (أو تقليل)، إن أمكن، يجب أن يكون جيدًا.
وعند إضافة أو طرح صورة كسرية من مصطلح آخر، سواء كانت كسرية أم لا.
تأكد من تبسيط وتقليل الصيغة الكسرية قبل محاولة الجمع أو الطرح.
- بسّط التعبير: (1-4) + 5/2 (2 + 1) + (2 – 3)
الحل: يعمل هذا مثل الأمثلة السابقة ؛ تحتاج فقط إلى معاملة البسط بشكل مختلف عن المقام.
لذلك تحصل على جزء يمكنك (ربما) تبسيطه، والذي يمكن وصفه على النحو التالي:
(1-4) + 5/2 (2 + 1) + (2-3)
أيضا (3) + 5/2 (3) + (1) =
8/9 + 1 =
يساوي أيضًا 8/10 =
وأخيرًا 4/5 =
إذن، القيمة المبسطة للتعبير هي 4/5
اقرأ أيضًا: تعريف الجبر في الرياضيات
هذا موجز عن أولويات العمليات الحسابية في الرياضيات، نتمنى أن تكون المقالة قد ساعدتك، ولمزيد من الموضوعات في الرياضيات، يمكنك إلقاء نظرة على قسم الرياضيات في موقع Maqsal لفهم أفضل!