يتحقق الضرب الداخلي للمتجهات من الخاصية الترابطية، ويقدم لك موقع محمود حسونة الضرب الداخلي للمتجهات التي تثبت الخاصية الترابطية، لأنها من العمليات المهمة في الرياضيات وهي الضرب الداخلي للمتجهات، حيث يمكننا ذلك إجراء العديد من العمليات الحسابية على نواقل مختلفة.
الضرب الداخلي للناقلات يفي بخاصية الترابط
نطرح سؤالًا مهمًا: هل الضرب الداخلي للمتجهات يفي بخاصية الترابط
لذلك نجيب: عملية الضرب الداخلي للمتجهات لا تحقق الخاصية الترابطية، لذا فهذه المعلومات خاطئة ؛ وذلك لأن الخصائص الجبرية المتعلقة بشكل خاص بعمليات الضرب الداخلية هي:
- حول الاستبدال.
- والممتلكات التوزيعية.
- خاصية الضرب لعدد حقيقي.
اقرأ هنا عن: هل العنصر المحايد لعملية الضرب هو صفر؟
تتضاعف
- من أهم العمليات في الرياضيات عملية الضرب، حيث تُعرف عملية الضرب بالرمز (×).
- هذه العملية هي الإضافة المتكررة لعدد معين من المرات، بالنسبة إلى الرقم الآخر الذي يضاعفه.
- يجب أن نشير إلى أهم القواعد في هذه العملية، وهي (علامات الأرقام).
- إذا ضربنا رقم إشارة سالب في رقم إشارة سالب، تكون النتيجة رقمًا موجبًا.
- في هذه الأثناء، إذا تم ضرب رقمين من علامات مختلفة، فستكون النتيجة سالبة.
سنناقش الآن أهم الخصائص الرياضية لعملية الضرب.
ما هي أهم الخصائص الرياضية لعملية الضرب؟
- منذ زمن الإغريق، اكتشف علماء الرياضيات القوانين والقواعد التي يمكن استخدامها مع الأعداد، خاصة فيما يتعلق بالضرب.
- لقد حددوا خمس خصائص رئيسية لا تزال صحيحة حتى يومنا هذا.
على الرغم من وضوح هذه الخصائص وبساطتها، إلا أنها مهمة جدًا لحل العديد من العمليات الحسابية المعقدة، وسنشرح هذه الخصائص اليوم:
1_ الملكية المشتركة
- وهذا هو محور مناقشتنا اليوم، الخاصية الترابطية المعروفة لاستخدامها في الضرب.
- عندما يتم تجميع الأرقام، فهذا يعني أن جميع الأرقام موضوعة بين قوسين، وكما نعلم أن أحد القواعد العامة للرياضيات هو ترتيب العمليات الحسابية.
- العملية الأولى هي ما يوجد داخل الأقواس، وعلى الرغم من أن عملية الضرب لها حالة خاصة، إلا أن وجود الأقواس لا يؤثر عليها والنتيجة هي نفسها.
- مثال: (axb) xc = (cxb) x a.
- مما يعني أن الترتيب غير مهم في عملية الضرب، لذا يمكننا كتابة المعادلة بهذه الصورة: (axbxc).
2_ خاصية التبادل
يتم تحديد الخاصية التبادلية للضرب من خلال نصها: عندما نضرب رقمين أو أكثر، لا تتأثر النتيجة بغض النظر عن ترتيب الأرقام، على سبيل المثال:
axb = bxa، وأن mxnxe = nxexm = exnxm
3_ خاصية التوزيع
تتشكل هذه الخاصية في عملية الضرب بقسمة الرقم خارج الأقواس، ويتم ضربها في جميع الحدود الموجودة داخل الأقواس، على سبيل المثال:
أ (ب + ج) = أب + كوك (أ + ب) = أ + ب ج.
وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن استخدام هذه الميزة لتسريع صعوبة أي معادلة رياضية معقدة عند توسيع المعادلات الرياضية أو تقييم المعادلات الرياضية.
4_ خاصية الصفر
هذه الخاصية هي إحدى القواعد التي تميز الرقم صفر ؛ يعتمد ذلك على أن نتيجة ضرب أي رقم بصفر تساوي صفرًا، بغض النظر عن قيمة أو علامة الرقم.
5_ خاصية الهوية
تعتمد هذه الخاصية على وقت ضرب الرقم في 1 تكون النتيجة هي نفس الرقم، بغض النظر عن قيمة أو علامة الرقم، على سبيل المثال:
- إذا ضربنا 4 و 2، فستكون النتيجة 8، أي رقم يختلف عنهما.
- مما يعني أن الرقمين يغيران هويتهما والنتيجة هي 8، بينما إذا ضربنا الرقم 4 في 1، فستكون النتيجة 4.
- هذا يعني أن الرقم 8 يحتفظ بهويته حتى بعد الضرب.
ولا تنس قراءة مقالنا عن: دراسة موجزة للتكاثر الداخلي
عملية التكاثر الداخلية
يستخدم الضرب الداخلي في العديد من التطبيقات المختلفة، حيث يمكننا تحديد طول المتجه أو الزاوية بين متجهين، أو تحديد بعض القيم الفيزيائية الموجودة في أنواع مختلفة من المشاكل.
من بين مفاهيمها أنها تضاعف النواقل مع بعضها البعض، واكتساب كائنات متعددة، كما أنها تستخدم لكل منها:
- الشغل.
- بيان القدرات.
- المجال المغناطيسي.
يطلق عليه في الفيزياء (الضرب الاتجاهي) ؛ وبسبب تفرده فإنه يتميز بخصائص تميزه عن التكاثر العادي.
ينتج عن هذا الضرب شكل متجه متعامد عند المستوى الذي يقع فيه المتجهان، على عكس ما يحدث في الضرب القياسي، والذي يكون حاصل ضربه رقمًا قياسيًا، مما يجعله أكثر اختلافًا عن الآخرين.
يعبر هذا المتجه عن مجموعة من الأرقام المكونة رأسياً وأفقياً.
الفرق بين الانتشار الداخلي والاتجاهي
- يوجد فرق كبير بين الضرب الداخلي والضرب التبادلي، لأن الضرب التبادلي يحدث بين متجهين وحاصل ضربهما هو نتاج إسقاط أحدهما إلى متجه آخر.
- لذلك، يمكننا حسابها من خلال عدد حاصل ضرب الإحداثيات المقابلة، والتي تقع بين متجهين في فضاء ثلاثي الأبعاد، أي عملية ثنائية.
- حيث تكون النتيجة متجهًا متعامدًا مع المستوى الذي ينتمي إليه، ومرة أخرى نرى أن الضرب التبادلي يحدث بين المتجهات في الفضاء.
- لذا فإن نتيجة عملية الضرب في اتجاهين ليست رقمًا كما هو الحال مع الضرب الداخلي، بل متجه ؛ بمعنى آخر، يكون المتجه عموديًا على المستوى الذي يحدث فيه الضرب.
- هناك أسماء أخرى للضرب الداخلي، مثل: (الضرب الاتجاهي، توجيه موجه، الضرب التبادلي).
خصائص العملية الداخلية لتكاثر النواقل
للضرب الداخلي العديد من الخصائص التي تجعله فريدًا، والتي سنناقشها أدناه:
هناك العديد من الخصائص الجبرية للضرب المنتظم وهي تنطبق أيضًا على الضرب الداخلي.
بشكل أساسي، هذه الخصائص موجودة في كل عملية من عمليات الضرب، وهي:
- حول الاستبدال.
- والممتلكات التوزيعية.
- خاصية الضرب لعدد حقيقي.
هذا مرتبط بما ناقشناه في بداية المقال حول خصائص الضرب الداخلي.
- هناك بعض الخصائص التي لا يمكن استخدامها إلا في الضرب الداخلي.
- مثال: خاصية الضرب الداخلي، أي عندما يُضرب المتجه في متجه آخر يكون حجمه صفرًا.
- إحدى الخصائص التي يمتلكها الضرب الداخلي فقط هي الضرب المتجه.
- كما ناقشنا، هناك علاقة بين طول المتجه والمنتج الداخلي.
- تكون طريقة كتابة المتجه في شكل مصادفة خطية لمتجهين قياسيين للوحدة، ومن الممكن كتابة المتجه في شكل مصادفة خطية لمتجه الوحدة القياسي.
- يمكن أيضًا كتابتها كمجموعة، لأن المتجه القياسي للوحدة يتم ضربه في اتجاه كل منها في المكون.
- هناك العديد من الفرضيات التي طرحها العلماء والتي تنص على عدد أشكال المطابقة الخطية.
أدعوك أيضًا للتعرف على: أولويات العمليات الحسابية في الرياضيات
تحقق عملية الضرب الداخلي للمتجهات الخاصية الترابطية، ومن خلال هذا المقال نتعرف على الفرق بين الضرب الداخلي والضرب العادي والضرب التبادلي وكذلك الخصائص العامة والجبرية لكليهما.