مقدمة إلى المصفوفات، يزودك موقع محمود حسونة بالمصفوفات، وهي مشكلة صعبة للعديد من الطلاب، لكنها تعتبر من أسهل أشكال العمليات الجبرية عند شرحها بطريقة بسيطة وسهلة. .
ماذا تعني المصفوفات؟
- يمكن تعريف المصفوفة على أنها ترتيب محدد للأرقام في شكل أعمدة وصفوف وعادة ما تتم كتابة المصفوفة في شكل مربع أو مربع مستطيل.
- تسمى الخطوط العمودية داخل المصفوفة بالأعمدة وتسمى الخطوط الأفقية بالصفوف.
- يمكن التعبير عن أبعاد المصفوفة بعدد الصفوف وعدد الأعمدة، وأبعاد المصفوفة = عدد الصفوف × عدد الأعمدة. على سبيل المثال، إذا كان عدد الصفوف في المصفوفة هو 2 وعدد الأعمدة 3، فسيتم التعبير عن أبعادها على النحو التالي: 2 × 3.
- يسمى كل شيء داخل مصفوفة عناصر المصفوفة سواء كانت أرقامًا أو رموزًا أو تعبيرات جبرية وإذا كان عدد الصفوف والأعمدة في مصفوفة واحدة هو نفسه عدد الصفوف والأعمدة في مصفوفة أخرى.
- لذلك تعتبر هاتان المصفوفتان أبعادًا متساوية، ويمكن تسمية المصفوفة بأي حرف عربي، وبالنسبة للغة الإنجليزية يتم تمثيلها بأحرف كبيرة.
- بمعنى آخر، يتم تمثيل محتوى المصفوفة بعناصرها من خلال كتابة رسالة.
- والذي يمثل اسم المصفوفة ويكتب رقم كل صف وعمود من العنصر تحت الحرف وهذا هو اسم المصفوفة.
ولا تنس قراءة مقالنا عن: البحث في المصفوفات وتطبيقاتها
التطور التاريخي للمصفوفات
- يمثل الشكل الأول لاستخدام المصفوفات لحل المعادلات باللغة الصينية ويسمى “الفصول التسعة للفنون الرياضية”.
- كما يتضمن تحديد المبادئ التي يمكن إرجاعها إلى ما بين 300 قبل الميلاد و 200 بعد الميلاد.
- في عام 1683 نشر عالم الرياضيات الياباني سيكي تاكاكازو ورقة بحثية عن المصفوفات.
- تبعه العالم الألماني جوتفريد لايبنيز الذي نشر ورقة بحثية عن المصفوفات عام 1693 ثم نشر غابرييل كرامر قواعده الحسابية في عام 1750.
- ركزت نظرية المصفوفة المبكرة على دور المحدد بدلاً من دور مستقل عن المصفوفة.
- لم يظهر مفهوم المصفوفة بشكل مستقل مع آرثر كايلي ونظرية المصفوفة الخاصة به حتى عام 1858.
- نظرية المصفوفة هي فرع من فروع الرياضيات تركز على دراسة المصفوفات والواقع.
- يعتبر فرعًا من فروع الجبر الخطي، لذلك فهو يغطي الموضوعات المتعلقة بنظرية الرسم البياني والجبر والتوافقية والإحصاء.
- تمثل المصفوفة مجموعة مستطيلة من الأرقام و 1848.
- كما صاغ عالم الرياضيات الإنجليزي جيمس جوزيف سيلفستر مصطلح المصفوفة كاسم لمجموعة من الأرقام المرتبة.
- في عام 1855 اقترح آرثر كايلي مصفوفة لتمثيل العناصر الخطية وتعتبر هذه الفترة بداية لنظرية الجبر الخطي والمصفوفات.
- تعد دراسة الفراغات المتجهة في مجالات معينة فرعًا مفيدًا من الجبر الخطي في نظرية التشفير.
- مما يؤدي بطبيعة الحال إلى البحث عن المصفوفات واستخدامها في مجالات محددة من نظرية التشفير.
- الوحدة عبارة عن تعميم لفضاء المتجهات، لذا فهي تعتبر مساحة المتجهات في الدائرة.
- أدى هذا إلى البحث في حلقات المصفوفة، ولم تكن نظرية المصفوفة في هذا المجال فرعًا من فروع الجبر الخطي.
- ما لم تكن الحلقة الموضحة متبادلة.
- ويتم قبول نظرية ونتائج نظرية كيلي هاملتون إذا كانت الحلقة المحددة هي حقل مثالي رئيسي.
- نموذج سميث الطبيعي متوافق ولكن البعض الآخر ينطبق فقط على حالة مصفوفة الأعداد المعقدة أو الحقيقية.
أنواع المصفوفة
توجد عدة أنواع من المصفوفات:
- مصفوفة مربعة: عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة
- صفيف الصف: صفيف يحتوي علي صف واحد فقط
- مصفوفة العمود: هي مصفوفة بعمود واحد فقط
- مصفوفة صفرية: هذه مصفوفة مكونة من أصفار فقط
- كمصفوفة قطرية: إنها مصفوفة مربعة توضع عناصرها فقط في خط قطري من الطرف الأيمن العلوي إلى الطرف الأيسر السفلي.
- أيضًا المصفوفة القياسية: مصفوفة قطرية من عناصر متساوية تقع قطريًا من الجانب الأيمن العلوي إلى الجانب الأيسر السفلي.
- المصفوفة المثلثية الفائقة: إنها مصفوفة مربعة حيث تكون جميع العناصر القطرية وجميع العناصر الموجودة تحتها مساوية للصفر.
- المصفوفة المثلثية السفلية: إنها مصفوفة مربعة حيث تكون جميع العناصر القطرية مساوية للصفر.
- مصفوفة الوحدة: هي مصفوفة قطرية ومصفوفة مربعة مع عدد متساوٍ من الصفوف والأعمدة ويمكن أن تحتوي على أي عدد من الصفوف والأعمدة، أي يمكن أن تكون أبعادها 2 × 2، 3 × 3.
أو حتى 100 × 100 والقطر يتكون فقط من رقم وهو حالة خاصة من المصفوفة.
لأن نتيجة ضربها بأي قيمة مصفوفة أخرى تعطي نفس قيمة أي مصفوفة أخرى.
لا تتردد في زيارة مقالنا عن: ابحث عن المصفوفات وأنواعها
عمليات الجمع والطرح للمصفوفات
- عند إضافة أو طرح مصفوفة في العمليات الحسابية للمصفوفة، يجب أن يكون الجمع والطرح متساويين.
- بمعنى آخر، يجب أن يكون عدد الصفوف والأعمدة في كلا الصفين هو نفسه، وعلى سبيل المثال إذا كان عدد الصفوف في الصف 3 صفوف و 5 أعمدة.
- يمكن إضافته إلى صف آخر فقط إذا كان عدد الصفوف 3 صفوف وعدد الأعمدة 5 أعمدة.
- من ناحية أخرى، لا يتم إضافته إلى صف آخر على سبيل المثال عدد الصفوف هو 3 وعدد الأعمدة هو 4.
ضرب المصفوفة
هناك نوعان من ضرب المصفوفات:
- الضرب النقطي: ضرب رقم في كل عنصر من عناصر المصفوفة.
- ضرب المصفوفة: هذا هو النوع الثاني حيث يتم ضرب مصفوفتين ببعضهما البعض ويحدث فقط عندما يكون عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مساويًا لعدد الصفوف في المصفوفة الثانية يمكن ضرب المصفوفتين ببعضهما البعض .
بحيث تكون أبعاد المصفوفة التي تم الحصول عليها هي: عدد صفوف المصفوفة الأولى × عدد أعمدة المصفوفة الثانية، وهناك مجموعة من الخطوات التي يجب اتباعها لضرب المصفوفة
تأكد من أن عدد الأعمدة في الصف الأول يساوي عدد الصفوف في الصف الثاني.
يتم ضرب كل عنصر في كل صف من الصف الأول من العنصر المقابل في كل عمود من المصفوفة الثانية على التوالي في المصفوفة الثانية ويتم إضافة النتيجة.
محدد المصفوفة
- يتم استخدام محدد المصفوفة في العديد من التطبيقات على سبيل المثال: حل المعادلات الخطية وإيجاد معكوس المصفوفة والتطبيقات الرياضية الأخرى. يتميز محدد المصفوفة بالعديد من المزايا.
- إنه رقم حقيقي إذا كانت المصفوفة مربعًا ولا يمكن إيجاد معكوس المصفوفة إلا إذا كانت الصيغة لا تساوي صفرًا.
- يتم استخدام معكوس المصفوفة لتمثيل محدد المصفوفة بنفس العلامة المستخدمة لتمثيل القيمة المطلقة.
- على سبيل المثال، محدد المصفوفة A هو | A | . وطريقة العثور عليه بأبعاد مختلفة، أي حسب عدد الصفوف والأعمدة، وفيما يلي الشرح:
- إذا كانت أبعاد المصفوفة 2 × 2، أي أنها مقسمة إلى صفين وعمودين، فيمكن العثور عليها باستخدام القواعد التالية: محدد المصفوفة = (الحد الأقصى على اليمين × الحد الأدنى للقيمة على اليسار) – (الحد الأقصى على اليسار x الحد الأدنى للقيمة على اليمين).
مصفوفة معكوسة
- يمكن تعريف معكوس المصفوفة كمصفوفة وحاصل ضرب المصفوفة الأصلية هو مصفوفة الوحدة، أي مصفوفة ذات أقطار متساوية.
- العناصر المتبقية تساوي الصفر وتختلف طريقة إيجاد معكوس المصفوفة تبعًا لأبعادها.
اقرأ هنا عن: الجبر الخطي وتطبيقاته الاقتصادية
بهذا، عزيزي الطالب، نكون قد انتهينا من موضوع اليوم.
نأمل أن نكون قد نجحنا في تقديم شرح مبسط لموضوع المصفوفات وعمليات الجمع والطرح والضرب المتعلقة بها.
بالإضافة إلى التعرف على التطور التاريخي للمصفوفات، وأخيراً، نتمنى لكم التوفيق.