المخروط شكل هندسي ثلاثي الأبعاد بقاعدة مسطحة دائرية وحافة ملفوفة بحركة دائرية حول القاعدة.
كما أن لها نهاية مدببة، بحيث يمكن صنع المخروط بتدوير المثلث. تابع جميع التفاصيل في مقالتنا المميزة بانتظام،.
أنواع المخاريط
1- المخروط الدائري الأيمن
- هذا هو المخروط الذي يلتقي رأسه تمامًا بمركز القائمة، أي أنه عمودي عليه.
- يحتوي أيضًا على قاعدة دائرية ومركز القاعدة ومحور رأسي يربط بين مركز القاعدة ورأس المخروط.
- يصنع المحور أيضًا زاوية قائمة مع قاعدة المخروط، لذلك يسمى هذا النوع من المخروط المخروط الأيمن.
اقرأ أيضًا: موضوع تعبير لمنطقة المعين
2- مخروط مائل
- إنه مخروط لا يتطابق رأسه مع مركز القاعدة، أي أن رأس المخروط ليس بالضبط عكس رأس قاعدته.
- يتكون هذا النوع أيضًا من قاعدة مستديرة، وهي مائلة في الشكل بحيث لا تشكل زاوية قائمة مع قاعدة المخروط.
- لذلك، يطلق عليه مخروط مائل.
- وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن أيضًا استخدام قوانين حساب حجم المخروط الدائري الأيمن لحساب حجم المخروط المائل.
3-مخروط مقطوع
هذا هو النوع الذي ينتج عن قطع الجزء العلوي الموازي للقاعدة، وبالتالي إزالة رأس المخروط.
ويتم التعبير عن هذا المخروط باستخدام الأبعاد التالية:
- الطول: هو العمود المستقيم الذي يربط منتصف القاعدة العلوية (نتيجة قطع رأس المخروط) بالقاعدة السفلية.
- نصف القطر: عادةً ما يختلف نصف قطر القاعدة العلوية ونصف قطر القاعدة السفلية.
- ارتفاع مائل: أقصر مسافة ممكنة بين حافة القاعدة السفلية وحافة القاعدة العلوية.
خصائص المخروط
- لها وجه هو القاعدة المستديرة ورأس.
- لكنها لا تحتوي على أي زوايا أو حواف.
- يمكن إيجاد عرض المخروط بحساب قطر القاعدة الدائرية.
المخروط له ثلاثة أبعاد:
- الارتفاع، وهو العمود الواقع بين رأس المخروط ومركز قاعدته.
- نصف قطر المخروط هو نصف القطر، وهو نصف قطر دائرة قاعدة المخروط.
- الارتفاع المائل، وهو المسافة بين رأس المخروط وأي نقطة على محيط قاعدة الدائرة للمخروط.
كيفية حساب مساحة المخروط
- لحساب مساحة المخروط، يجب أولاً شرح بعض المفاهيم الضرورية وفهمها بالكامل.
- الارتفاع: هو العمود الذي يقف بين مركز القاعدة الدائرية والرأس المدبب للمخروط.
- لجعلها زاوية قائمة بقاعدة دائرية.
- نصف القطر: المسافة من مركز قاعدة الدائرة ومحيطها.
- الطول الجانبي أو المائل: هو المسافة بين أي نقطة على محيط قاعدة الدائرة والنهاية العلوية.
- تُعرَّف مساحة المخروط بأنها عدد الوحدات المربعة التي تغطي الجزء الخارجي من المخروط.
- عند حساب مساحة أو حجم المخروط، تنطبق القوانين على المخروط المستقيم، وليس المخروط المائل.
- المخروط الأيمن هو المخروط ذو القاعدة الدائرية، والخط الذي يربط بين رأس المخروط ومركز القاعدة عمودي على القاعدة.
- يمكن إيجاد المساحة الكلية للمخروط بإيجاد مجموع المساحة الجانبية للمخروط مع مساحة القاعدة.
- وتمثل مساحة القاعدة مساحة الدائرة، والقاعدة دائرية الشكل، وتساوي (π × n2)، n تعني نصف القطر.
- المساحة الجانبية تساوي (π × نصف القطر × الطول القطري أو الطول الجانبي).
- يمكن حساب الطول الجانبي أو الطول القطري للمخروط باستخدام الصيغة التالية.
- الارتفاع الجانبي للمخروط = (مربع الارتفاع + مربع نصف القطر).
مما سبق نستنتج أن المساحة الكلية للمخروط هي كما يلي:
- المساحة الكلية للمخروط = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة.
- أيضًا، إجمالي مساحة المخروط = π × n × l + π × نق 2، وهو ما يساوي
- إجمالي مساحة المخروط = π × n2 + × n × (ع 2+ نق 2) √.
بأخذ π نق كعامل مشترك، تصبح المعادلة:
- إجمالي مساحة المخروط = π × n × (n + (ع + نق) √
- في حين:
- π: رقم ثابت، والقيمة العددية 22/7، 3.14.
- Nq: نصف قطر دائرة قاعدة المخروط.
- ج: هو ارتفاع المخروط.
- L: هو الطول القطري أو الجانبي للمخروط.
قد تكون مهتمًا أيضًا بـ: موضوع حول مساحة المربع
صيغة حساب مساحة القطع الناقص
الطول الجانبي (ل): يساوي: l² = m² + (m1 – m2) ²، ومنها: l = (m² + (m1-m2) ²) √.
المساحة الجانبية للقطع الناقص = π × (n1 + n2) × l.
- مساحة القطع الناقص = π × (l × (m1 + m2) + (m1) ² + (m2) ²).
- حجم القطع الناقص = (1/3) × π × × (((نق 1) ² + (نق 2) ² + (نق 1 × نق 2)) ؛ حيث:
- N1: نصف قطر القاعدة السفلية.
- N2: نصف قطر القاعدة العلوية.
- L: الطول المائل أو الجانبي للفرج.
- π: ثابت pi، وهو ثابت عددي يساوي 3.14 أو 22/7.
- ج: ارتفاع frustum.
أمثلة لحساب مساحة المخروط
المثال الأول
- ما مساحة مخروط ارتفاعه ٨ وحدات ونصف قطره ٦ وحدات؟
- الحل: مساحة المخروط = π × n × (نق + (ع² + نق²) √) ويمكن حسابها كالتالي: مساحة المخروط = ((8² + 6²) √ + 6 ) × π × 6.
- إذن: مساحة المخروط = π × 96 سم².
المثال الثاني
المخروط ناقص قطر قاعدته العلوية ٢ سم، وقطر قاعدته السفلية ٦ سم، وارتفاعه ١٠ سم. ما قيمة كل من: المساحة الجانبية، والمساحة الكلية، والحجم؟
- الحل: لإيجاد المساحة الجانبية والمساحة الكلية، يجب أولاً إيجاد الارتفاع الجانبي (l).
- وهي كالتالي: احسب الطول الجانبي كما يلي: l = (p² + (m1-m2)) ²√ = 10² + (6-2) ²√ = 10.77 cm.
- المساحة الجانبية للقطع الناقص = π × (n1 + n2) × l.
- إذن: المساحة الجانبية للقطع الناقص = 3.14 × (6 + 2) × 10.77 = 270.69 سم².
- المساحة الكلية = المساحة الجانبية + × (م 1) ² + π × (م 2) ².
- إذن: المساحة الإجمالية = 270.69 + (3.14 × 6² + 3.14 × 2²) = 396.35 سم².
- حجم المخروط = (1/3) × π × × (((نق 1) ² + (نق 2) ² + (نق × 2)).
- إذن: حجم المخروط = (1/3) × 3.14 × 10 × (6² + 2² + (6 × 2)) = 544 سم مكعب.
أيضا المثال الثالث
- ما المساحة الكلية لمخروط نصف قطره 6 م وطول ضلعه 10 م؟
- الحل: مساحة المخروط = π × n² + π × نق × l.
- يمكن حسابها على النحو التالي: مساحة المخروط = 3.14 × 6² + 3.14 × 6 × 10 = 301.44 م².
المثال الرابع
- المخروط الدائري قطر قاعدته 3√4 والزاوية بين الارتفاع وطول الضلع 30 درجة، فما هي المساحة الكلية للمخروط؟
- الحل: المساحة الكلية للمخروط = π × م × (ن + ل) ولحسابها نحتاج إلى قيمة: نصف القطر والطول الجانبي ويمكن حسابها على النحو التالي:
- احسب نصف القطر بقسمة القطر على 2 ؛ نصف القطر = القطر / 2 = 3√4 / 2 وهو 3√2 سم.
- احسب الطول الجانبي، وهو وتر المثلث القائم الزاوية حيث يشكل نصف القطر إحدى رجليه.
- وطول الساق الأخرى، والطول الجانبي للوتر، وباستخدام قانون جيب الزاوية: sin (x) = المقابل / الوتر.
- ينتج عن هذا: sin (30) = 3√2 / l، حيث l = 3√4 cm.
- عوّض بالقيم السابقة في القانون لإجمالي مساحة المخروط، للحصول على ذلك: المساحة الإجمالية للمخروط = π × n × (sq + l) = 3.14 × 3√2 × (3 √2 + 3√4) = 113.04 سم².
وأخيرًا، المثال الخامس
- إذا كان حجم مخروط دائري قائم 9856 سم 3، وقطر قاعدته 28 سم، فما ارتفاعه (ع) وارتفاعه الجانبي (ل) ومساحته الجانبية؟
- الحل: حجم المخروط = (1/3) × π × م² × ع حيث يوجد الارتفاع.
- على النحو التالي: بما أن القطر = 28 سم فإن نصف القطر (ن) = القطر / 2 = 14 سم.
- بالتعويض عن قانون الكميات: 9856 = (1/3) × 22/7 × ² 14 xp، بما في ذلك: الطول = (9856 × 3 × 7) / (22 × 14 × 14).
- بما في ذلك: الارتفاع = 48 سم. الطول الجانبي = (n² + h²) √، لذا: l = 14² + 48² √ = 50 cm. المساحة الجانبية = π × n × L.
- إذن: المساحة الجانبية = 22/7 × 14 × 50 = 2200 سم².
المثال السادس
- ورقة على شكل نصف دائرة قطرها 6.28 سم إذا علمت أنها أصبحت مخروطًا قائمًا.
- احسب المساحة الجانبية لهذا المخروط؟
- الحل: المساحة الجانبية للمخروط الأيمن = مساحة القطاع الدائري. المساحة الجانبية للمخروط الأيمن = (180 ÷ 360 درجة) × π × م².
- المساحة الجانبية للمخروط الأيمن = 1/2 x x m².
- أيضا، المساحة الجانبية للمخروط الأيمن = 2 / p².
- بما أن nn = القطر ÷ 2، لذا n = 3.14، غيّر نصف القطر إلى القانون.
- ويترتب على ذلك: المساحة الجانبية للمخروط الأيمن = 2 / (π × 3.14 × 3.14). المساحة الجانبية للمخروط الأيمن = π9298 سم² (الإجابة π).
- المساحة الجانبية للمخروط = 4.9298 × 3.14. المساحة الجانبية للمخروط = 15.4796 سم².
أنظر أيضا: موضوع تعبير لمنطقة شبه منحرف
أخيرًا، تعرفنا على قوانين حساب مساحة المخروط وبعض الأمثلة على استخدام هذه القوانين.
أيضًا، شاركنا بالتعليقات للإجابة على أسئلتك واستفساراتك حول هذا الموضوع.