الرسم البياني في الرياضيات

الرسم البياني الرياضي، في الرياضيات، وبشكل أكثر تحديدًا في نظرية الرسم البياني، الرسم البياني هو بنية تربط مجموعة من الكائنات.

أيضًا، بعض أزواج الكائنات “مرتبطة” بمعنى ما، اتبع موقع محمود حسونةة للتعرف على الرسم البياني الرياضي.

رسم بياني

عادة ما يتم تصوير الرسم البياني بشكل تخطيطي كمجموعة من النقاط أو الدوائر للرؤوس، متصلة بخطوط أو منحنيات بالحواف.

مثلما الرسوم البيانية هي موضوع الدراسة في الرياضيات المنفصلة، يمكن توجيه الحواف أم لا.

مثال

إذا كانت هذه الرؤوس في صورة أفراد في حفلة، وهناك ميزة بين شخصين عندما يتصافحان.

هذا الرسم البياني غير موجه، لأن أي شخص “أ” يمكنه مصافحة الشخص “ب” إذا قام “ب” بمصافحة الشخص “أ” أيضًا.

من ناحية أخرى، إذا كانت أي حافة من الفرد “أ” إلى الشخص “ب” مساوية للتشابه بين “أ” و “ب”، فسيتم توجيه هذا الرسم البياني.

هذا لأن المجاملة لا تحتاج إلى أن تكون متبادلة أو متبادلة، والنوع السابق من الرسم البياني يسمى الرسم البياني غير المباشر.

النوع الأخير من الرسم البياني يسمى الرسم البياني الموجه.

الرسوم البيانية

هذا هو الموضوع الرئيسي الذي تمت دراسته بواسطة نظرية الرسم البياني، واستخدمت كلمة “رسم بياني” بهذا المعنى لأول مرة بواسطة جيمس جوزيف سيلفستر، في عام 1878 م.

انظر أيضًا: ما هي الأنواع السبعة لفن الرسم

تعريف الرسم البياني وأنواعه

تختلف تعريفات نظرية الرسم البياني ؛ فيما يلي بعض الطرق الأساسية لوصف الرسوم البيانية والتراكيب الرياضية ذات الصلة:

رسم بياني

الرسم البياني هو زوج (G = (V، E)، حيث V عبارة عن مجموعة تسمى عناصرها الرؤوس (المفرد: قمة الرأس)، و E.

مجموعة من مجموعتين (مجموعتين من عنصرين مميزين) من الرؤوس تسمى عناصرها الحواف (أحيانًا روابط أو خطوط).

يُطلق على رأسي x و y للحافة {x، y} النقطتين المتطرفتين للحافة، ويقال أن الحافة تربط x و y، وتكون واقعة على x و y، وقد لا ينتمي الرأس إلى أي منهما ما التنورة

العديد من الرسوم البيانية

هذا التعميم يسمح بوجود حواف متعددة بنفس زوج نقاط النهاية، وفي بعض البرامج النصية، تسمى الرسوم البيانية المتعددة الرسوم البيانية.

في بعض الأحيان، يُسمح للرسوم البيانية بوجود حلقات، وهي عبارة عن حواف تربط الرأس بنفسها، للسماح بالحلقات.

يجب أيضًا تعديل التعريف أعلاه من خلال تحديد الحواف، كمجموعات متعددة من رأسين بدلاً من اثنين.

تسمى هذه الرسوم البيانية المعممة الرسوم البيانية الحلقية، أو ببساطة الرسوم البيانية، عندما يكون واضحًا من السياق أن الحلقات مسموح بها.

رسم بياني فارغ

إنه رسم بياني به مجموعة فارغة من الرؤوس (وبالتالي مجموعة فارغة من الأضلاع).

ترتيب الرسم البياني هو عدد الرؤوس | V |، حجم الرسم البياني هو عدد حوافه | هـ |.

ومع ذلك، في بعض السياقات، مثل التعبير عن التعقيد الحسابي للخوارزميات، الحجم | الخامس | + | هـ |.

(خلاف ذلك، قد يكون للرسم البياني غير الفارغ حجم 0).

درجة الرأس أو ما يعادلها هي عدد الحواف الموجودة عليها، وبالنسبة للرسوم البيانية ذات الحلقات، يتم حساب الحلقة مرتين.

مخطط موجه

الرسم البياني الموجه هو رسم بياني يتم فيه توجيه الحواف بمعنى محدود.

ولكنه شائع جدًا للمصطلح، [8] الرسم البياني الموجه هو زوج مرتب (G = (V، E)) يتكون من:

• V، مجموعة من الرؤوس (تسمى أيضًا العقد أو النقاط)، مجموعة من الحواف.
• (تسمى أيضًا حواف الاتجاه أو الارتباطات الموجهة أو الأدلة أو الأسهم أو الأقواس).
  • هم أزواج مرتبة من الرؤوس (أي أن الحافة متصلة برأسين مختلفين).

رسم بياني مختلط

الرسم البياني المختلط هو رسم بياني قد يتم توجيه بعض الحواف فيه، وقد تكون الحواف الأخرى غير موجهة.

إنه ثالوث مرتب من G = (V، E، A لرسم بياني مختلط بسيط و G = (V، E، A، ϕE، A لجهاز كشف الكذب المختلط مع VE (حواف غير مباشرة)، A (حواف موجهة).

رسم بياني مرجح

رسم بياني أو شبكة مرجحة، رسم بياني يتم فيه تعيين رقم (وزن) لكل حافة.

يمكن أن تمثل هذه الأوزان، على سبيل المثال، التكاليف أو الأطوال أو القدرات، اعتمادًا على المشكلة المطروحة.

تظهر مثل هذه الرسوم البيانية في العديد من السياقات، على سبيل المثال في مشاكل أقصر طريق مثل مشكلة بائع متجول.

أنواع المخططات

مخطط موجه

• الرسم البياني الموجه هو رسم بياني موجه حيث يوجد على الأكثر واحد (س، ص) و (س، ص) في الرسم البياني.
  • أي أنه رسم بياني موجه يمكن تشكيله كإتجاه لرسم بياني غير موجه.

رسم بياني منتظم

• الرسم البياني العادي هو رسم بياني لكل رأس فيه نفس عدد الجيران، أي أن كل رأس له نفس الدرجة.
• الرسم البياني المنتظم برؤوس k درجة يسمى أيضًا رسم بياني منتظم k أو رسم بياني منتظم لدرجة k.

الرسم البياني الكامل

• الرسم البياني الكامل هو رسم بياني يتم فيه توصيل كل زوج من الرؤوس بواسطة حافة، ويحتوي الرسم البياني الكامل على جميع الحواف الممكنة.

رسم بياني محدود

• الرسم البياني المحدود هو رسم بياني حيث تكون مجموعات الرأس والحافة مجموعات محدودة، وإلا يطلق عليه الرسم البياني اللانهائي.

رسم بياني متصل

• في الرسم البياني غير الموجه، يُطلق على زوج غير مرتب من الرؤوس {x، y} اسم مستمر إذا كان المسار ينتقل من x إلى y، وإلا فإن الزوج غير المرتب يسمى غير متصل.
• الرسم البياني المتصل هو رسم بياني غير موجه حيث يتم توصيل كل زوج من الرؤوس غير المرتبة في الرسم البياني، وإلا فإنه يسمى الرسم البياني غير المستمر.

اقرأ أيضًا: الفيزياء وعلاقتها بالعلوم الأخرى

وأنواع أخرى

• رسم بياني ثنائي.
• أيضا رسم مسار.
• رسم بياني مسطح.
• أيضا رسم بياني بالطبع.

خصائص الرسومات

• تسمى حافتا الرسم البياني متجاورتان، إذا كان لهما رأس مشترك.
• يتم تسمية ملصقات الرسم البياني المرفقة بالحواف أو الرؤوس على أنها معنونة.
• فئة جميع الرسوم البيانية هي مجموعة الشرائح Set ↓ D حيث D: Set → Set هي القمع الذي يأخذ مجموعة s إلى sx s.

أمثلة

• الرسم البياني هو تمثيل تخطيطي للرسم البياني ذي الرؤوس {V = {1، 2، 3، 4، 5، 6 والحواف {{E = {{1، 2}، {1، 5}، {2، 3}، {2}). ، 5}، {3، 4}، {4، 5}، {4، 6.
• تحدد العلاقة الثنائية R على مجموعة X رسمًا بيانيًا موجهًا، والعنصر x في X هو سلف مباشر للعنصر y في X إذا وفقط إذا كان xRy.
• يمكن أن يمثل الرسم البياني الموجه نموذجًا لشبكات المعلومات مثل Twitter، حيث يتبع أحد المستخدمين آخر.
• يتم تقديم أمثلة منتظمة بشكل خاص للرسوم البيانية الموجهة، من خلال الرسوم البيانية Kylie المصممة جيدًا للمجموعات.
  • المزيد من الرسوم البيانية لجوز شرير.
• في نظرية الفئة، كل فئة صغيرة لها متجه أساسي متعدد الرسوم البيانية التي تكون رؤوسها هي كائنات الفصل، وحوافها هي أسهم الفصل، في لغة نظرية التصنيف.
  • يقول المرء أيضًا أن هناك عاملًا منسيًا من فئة الفئات الصغيرة إلى فئة الهزات.

التعميمات

• في الرسم البياني للارتباط التشعبي، يمكن أن تحتوي الحافة على أكثر من رأسين.
• يمكن النظر إلى الرسم البياني غير الموجه على أنه معقد بسيط يحتوي على 1 مبسطة (حواف)، وأصفار مبسطة (رؤوس)، وما إلى ذلك.
  • المجمعات هي تعميمات الرسوم البيانية لأنها تسمح بالتبسيط في أبعاد أعلى.
• كل رسم بياني يؤدي إلى matroid.
• في نظرية النموذج، الرسم البياني هو مجرد بنية، ولكن في هذه الحالة، لا توجد قيود على عدد الحواف: يمكن أن يكون أي عدد أولي.
• أيضًا في علم الأحياء الحسابي، يقدم تحليل الرسم البياني للطاقة رسومًا بيانية للطاقة، كتمثيل بديل للرسوم البيانية غير المباشرة.
• أيضًا في نظم المعلومات الجغرافية، يتم تصميم الشبكات الهندسية عن كثب بعد الرسوم البيانية
• كما أنه يستعير العديد من المفاهيم من نظرية الرسم البياني لإجراء التحليل المكاني لشبكات الطرق أو شبكات المرافق.

اقرأ أيضًا: الفيزياء الحيوية وتطبيقاتها

هذه نظرة عامة على الرسم البياني للرياضيات. نأمل أن يكون المحتوى مفيدًا لك ويرضيك. لمواضيع الرياضيات الأخرى، قم بزيارة قسم الرياضيات في موقع مقل.