الجبر الخطي وتطبيقاته الاقتصادية: إن أهم استخدامات الجبر الخطي للاقتصاديين هو التعامل مع نماذج الاقتصاد القياسي الخطي، والاستخدام الرئيسي الثاني للجبر الخطي لطلاب الاقتصاد هو الأساس في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات والتحسين.
بالطبع هناك العديد من الاستخدامات الأخرى للجبر الخطي وسنناقشها الآن ؛ اتبع مقالة على الإنترنت للتعرف على الجبر الخطي وتطبيقاته الاقتصادية.
الجبر الخطي
الجبر الخطي هو فرع الرياضيات الذي يتعامل مع المعادلات الخطية مثل:
a1x1 +… + القلق ن = ب
والخرائط الخطية مثل:
x1، …، xn) a1x1 +… + القلق)
وتمثيلاتها في فضاءات المتجهات والمصفوفات.
الجبر الخطي أساسي لجميع مجالات الرياضيات تقريبًا، على سبيل المثال، الجبر الخطي أساسي في العرض الحديث للهندسة.
بما في ذلك تحديد الكائنات الأساسية مثل الخطوط والطائرات والدوران، أيضًا، يمكن النظر في التحليل الوظيفي.
إنه فرع من فروع التحليل الرياضي، في المقام الأول، تطبيق للجبر الخطي على المساحات الوظيفية.
يستخدم الجبر الخطي أيضًا في العديد من مجالات العلوم والهندسة، لأنه يمكنه نمذجة العديد من الظواهر الطبيعية، ويمكن استخدام هذه النماذج لإجراء عمليات حسابية فعالة.
بالنسبة للأنظمة غير الخطية التي لا يمكن نمذجتها بواسطة الجبر الخطي، غالبًا ما تستخدم للتعامل مع التقريب من الدرجة الأولى.
لأن التفريق بين دالة متعددة المتغيرات في نقطة ما هو أفضل مهمة خطية.
أنظر أيضا: الإدارة المالية والتمويل
تاريخ موجز للجبر الخطي
يمكن العثور على طريقة حل المعادلات الخطية المتزامنة التي تسمى الآن القطع الغاوسي في نص رياضي صيني قديم الفصل 8.
المصفوفات المستطيلة لتسعة فصول من الفن الرياضي، واستخدامها في ثمانية عشر مسألة، مع معادلات من اثنين إلى خمسة.
نشأت أنظمة المعادلات الخطية في أوروبا مع إدخال الإحداثيات في الهندسة في عام 1637 م بواسطة رينيه ديكارت.
في الواقع، في هذه الهندسة الجديدة، والتي تسمى الآن الهندسة الديكارتية، يتم تمثيل الخطوط والمستويات بالمعادلات الخطية، ويكافئ حساب التقاطعات حل أنظمة المعادلات الخطية.
تم استخدام أول طرق منهجية لحل أنظمة المحددات الخطية، ودرسها لايبنيز لأول مرة في 1693.
في عام 1750، استخدمها غابرييل كرامر لإعطاء حلول واضحة للأنظمة الخطية، والتي تسمى الآن قاعدة كرامر.
في وقت لاحق، وصف Gauss طريقة الإزالة، والتي تم تضمينها في البداية كتحسين في الجيوديسيا.
في عام 1844، نشر هيرمان جراسمان The Extension Theory، والتي تضمنت موضوعات تأسيسية جديدة لما يسمى الآن بالجبر الخطي.
في عام 1848، قدم جيمس جوزيف سيلفستر المصطلح مصفوفة، وهي لاتينية تعني الرحم.
يرتبط الجبر الخطي بالهندسة
هناك علاقة قوية بين الجبر الخطي والهندسة، بداية من إدخال الإحداثيات الديكارتية بواسطة رينيه ديكارت عام 1637 م.
في هذه الهندسة الجديدة (في ذلك الوقت)، التي تسمى الآن الهندسة الديكارتية، تم تمثيل النقاط بواسطة الإحداثيات الديكارتية.
وهي عبارة عن تسلسلات من ثلاثة أرقام حقيقية (في حالة الفضاء العادي ثلاثي الأبعاد).
يتم تمثيل العناصر الأساسية للهندسة، وهي الخطوط والمستويات، أيضًا بالمعادلات الخطية.
لذلك، فإن حساب تقاطعات الخطوط والمستويات يعادل حل أنظمة المعادلات الخطية، وهذا أحد الدوافع الرئيسية لتطوير الجبر الخطي.
معظم التحولات الهندسية، مثل الترجمات، والدوران، والانعكاسات، والحركات الجامدة، والقياسات المتساوية، والإسقاطات، تحول الخطوط إلى خطوط.
ويترتب على ذلك أنه يمكن تعريفها وتحديدها ودراستها من حيث الخرائط الخطية، وهذا هو الحال أيضًا في حالة التجانس وتحول موبيوس، عند اعتبارها بمثابة تحول لمساحة إسقاطية.
حتى نهاية القرن التاسع عشر، تم تحديد المسافات الهندسية من خلال مسلمات النقاط والخطوط والمستويات (الهندسة التركيبية).
في هذا التاريخ، ظهر أنه يمكن أيضًا تعريف الفراغات الهندسية عن طريق الإنشاءات التي تتضمن فراغات متجهة.
(انظر، على سبيل المثال، الفضاء الإسقاطي والفضاء الأفيني) تظهر الطريقتان على أنهما متكافئان بشكل أساسي.
في الهندسة الكلاسيكية، فإن المساحات المتجهية المعنية هي المساحات المتجهة للواقع، ولكن يمكن أن تمتد الإنشاءات إلى المساحات المتجهة في أي مجال.
يسمح بالنظر في هندسة الحقول التعسفية، بما في ذلك الحقول المحدودة.
في الوقت الحاضر، توفر العديد من الكتب المدرسية مسافات هندسية للجبر الخطي، في المستوى الأساسي. حيث يتم التعبير عن الهندسة غالبًا كمجال فرعي للجبر الخطي.
الامتدادات والتعميمات
يقدم هذا القسم أيضًا العديد من الموضوعات ذات الصلة، والتي لا توجد عادة في كتب الجبر الخطي الابتدائية.
لكنها تعتبر بشكل عام، في الرياضيات المتقدمة، كأجزاء من الجبر الخطي، ومن الأمثلة على ذلك ما يلي:
- نظرية الفضاء الدائري – نظرية الوحدة
- الجبر متعدد الخطوط وموترات
- مساحات ناقلات طوبولوجية
- الجبر المثلي
استخدام وتطبيق الجبر الخطي
يُستخدم الجبر الخطي في جميع مجالات الرياضيات تقريبًا، مما يجعله وثيق الصلة بجميع المجالات العلمية التي تستخدم الرياضيات تقريبًا، ويمكن تقسيم هذه التطبيقات إلى عدة فئات عامة.
هندسة فضاء المحيطات
يعتمد نموذج الفضاء المحيط على الهندسة، وتستخدم العلوم المعنية بهذا الفضاء الهندسة على نطاق واسع.
هذه هي حالة الميكانيكا والروبوتات لوصف ديناميكيات الجسم الصلب، والجيوديسيا لوصف شكل الأرض.
المنظور ورؤية الكمبيوتر ورسومات الكمبيوتر لوصف العلاقة بين المشهد والتمثيل المستوي والعديد من المجالات العلمية الأخرى.
في جميع هذه التطبيقات، غالبًا ما تستخدم الهندسة التركيبية للوصف العام والأساليب النوعية، ولكن لدراسة المواقف الواضحة.
يجب على المرء أن يحسب باستخدام الإحداثيات، وهذا يتطلب استخدامًا مكثفًا للجبر الخطي.
اخترنا لكم: مفهوم الاقتصاد وأنواعه
تحليل الوظيفة
دراسات التحليل الوظيفي الفراغات الوظيفية ؛ هذه مساحات متجهة، مع بنية إضافية مثل مساحات هيلبرت.
لذا فإن الجبر الخطي هو جزء مهم من التحليل الوظيفي وتطبيقاته، والتي تشمل بشكل خاص ميكانيكا الكم (وظائف الموجة).
دراسة الأنظمة المعقدة
يتم نمذجة معظم الظواهر الفيزيائية بواسطة معادلات تفاضلية جزئية، ولحلها، عادة ما يحلل المرء الفضاء.
عندما يتم البحث عن حلول في خلايا صغيرة متفاعلة بشكل متبادل، وبالنسبة للأنظمة الخطية، يتضمن هذا التفاعل وظائف خطية.
بالنسبة للأنظمة غير الخطية، عادة ما يتم تقريب هذا التفاعل من خلال الوظائف الخطية، في كلتا الحالتين.
غالبًا ما يتم تضمين المصفوفات الكبيرة جدًا، والتنبؤ بالطقس هو مثال شائع.
على سبيل المثال، ينقسم الغلاف الجوي للأرض بأكمله إلى خلايا بعرض 100 كم وارتفاع 100 متر.
الحساب العلمي
تتضمن جميع الحسابات العلمية تقريبًا الجبر الخطي. وبالتالي، تم تحسين خوارزميات الجبر الخطي بشكل كبير، ويعد كل من BLAS و LAPACK أكثر التطبيقات شهرة.
لتحسين الكفاءة، يقوم بعضهم تلقائيًا بتكوين الخوارزميات، في وقت التشغيل، لتكييفها مع مواصفات الكمبيوتر (حجم ذاكرة التخزين المؤقت، عدد النوى المتاحة، …).
تم تصميم بعض المعالجات، عادةً وحدات معالجة الرسومات (GPU)، ببنية مصفوفة لتحسين عمليات الجبر الخطي.
تطبيق الجبر الخطي في علم الاقتصاد
للجبر الخطي العديد من التطبيقات. اعلم أن بعض النماذج الاقتصادية تستخدم المعادلات التفاضلية والفروق للتنبؤ بمستويات السوق أو لزيادة الأرباح.
لذلك، يشارك الجبر الخطي في حل هذه المعادلات، أو حتى الحصول على شروط لحل مثل هذه المشاكل.
تعتمد معظم النظريات الرياضية الخطية على الجبر الخطي، لذلك لا توجد طريقة للهروب منها.
نظرًا لأننا نميل إلى وضع الخطوط الخطية للمسائل كلما أمكن ذلك (يسهل حلها)، فإننا نستخدم الجبر الخطي في علم الاقتصاد.
تطبيقات تعيين الرياضيات للجبر الخطي في الاقتصاد من قبل أميت جارج، الاقتصاد هو فرع المعرفة المتعلق بإنتاج الثروة واستهلاكها ونقلها.
يمكن تقدير العديد من العلاقات الاقتصادية من خلال المعادلات الخطية، ويمكن تحويل بعض العلاقات إلى علاقات خطية.
لذلك فإن تحليل العديد من النماذج الاقتصادية يلخص دراسة أنظمة المعادلات الخطية، والعلاقة بين الجبر الخطي والاقتصاد.
أفضل الأمثلة على تطبيقات الجبر الخطي في الاقتصاد هي: نموذج Leontiff Input-Output Model، وهو نموذج يوضح العلاقة المتبادلة بين مختلف فروع الاقتصاد.
تم تطويره بواسطة Wassily Leontief، وهو يقسم الاقتصاد إلى قطاعات مختلفة مثل: صناعة الفحم، والصناعة الزراعية، والصناعة التحويلية، إلخ.
استخدم أيضًا معادلة خطية لكل قطاع، وكتب معادلة خطية تصف كيفية توزيع القطاع الناتج بين القطاعات الأخرى.
قد تكون مهتمًا بـ: موضوع مقال عن الاقتصاد الرقمي
في نهاية المقالة الجبر الخطي وتطبيقاته الاقتصادية، يعتبر الجبر الخطي مهمًا جدًا في علم الاقتصاد، حيث يدور الاقتصاد الحديث حول البيانات، لذا فإن أشياء مثل الاقتصاد القياسي مهمة، فضلاً عن اهتمامه بتذكير التحليل الأساسي والمزيد. أكثر.